郝芳芳1 吕图伟1 武冬冬1 范小宁2
1 山西省平遥减速器有限责任公司 平遥 031100 2 太原科技大学机械工程学院 太原 030024
摘 要：针对起重机主梁结构的稳健优化设计，研究了拉丁超立方体试验设计技术、近似模型技术、基于方差的稳健设计模型构建过程和利用灰色绝对关联度求解多目标优化问题的方法，选取决定起重机主梁截面的5 个主要尺寸参数为输入变量，以主梁跨中最大应力和垂直静刚度为响应变量，构建二次多项式响应面模型。在响应面模型的基础上，利用方差作为稳健性评价指标，以最大应力与垂直静刚度的方差和截面面积为3 个目标，构建起重机主梁的多目标稳健优化设计模型，并利用灰色绝对关联度进行优化求解。优化结果表明：考虑参数不确定性的稳健优化设计在一定程度上可以降低性能指标对设计参数的敏感性，同时基于近似模型的优化设计可以为复杂工程提供很大的方便，为工程实际中的稳健优化设计提供指导。
关键词：起重机；响应面模型；多目标稳健优化；拉丁超立方体抽样；灰色绝对关联度
0 引言
起重机作为物料传输过程中重要的装备，设计过程中不仅需要满足强度、刚度、稳定性原则而且要保证其自身的可靠性、安全性、经济性[1]。目前，起重机结构轻量化设计的研究受到了相关学者的广泛关注，并取得了可喜的研究成果[2，3]，但起重机的结构尺寸、材料属性等均具有不确定性，这些不确定性有可能导致产品的设计达不到质量要求和产品的可靠性和安全性降低，为了保证经济性的同时进一步提高产品的可靠性和安全性，本文引入稳健优化设计的方法，达到既提高产品的可靠性和安全性，又降低生产成本的目的。稳健优化设计主要是寻找一组最优解使得当设计参数发生微小变化时性能参数变化很小。目前应用相对成熟的稳健优化设计方法主要有分析性稳健优化设计方法和基于近似模型的稳健优化设计方法，分析性稳健优化设计方法主要是分析研究系统稳健性的方法，研究者需要建立明确的函数关系式来反应功能需求和性能约束对设计变量的映射关系，但对于复杂的模型很难建立显式的函数关系，故需通过近似模型来模拟真实的物理模型或物理实验。近年来，近似模型在航空、汽车、船舶等的结构、流体和多学科设计领域得到了广泛应用和深入发展。杨卓懿、庞永杰等将响应面法应用在回转体艇型多目标优化设计中[4]；于海莲等人将响应面模型与多目标遗传算法相结合应用到机床立柱的参数优化设计中[5]；张勇等将响应面模型应用到汽车优化设计中[6]；谷海涛等将近似模型应用到水下滑翔机翼优化设计中[7]；丁炜琦等将近似模型应用到大客车结构动态特性多目标优化设计中[8]；陈晓凯等将改进响应面法应用到汽车正面抗撞性优化设计中[9]。这些方法针对复杂的实际问题采用近似模型减少了分析时所需的大量计算，但未考虑参数的不确定性，导致设计参数发生微小变化时性能指标极易超过许可条件；陈永亮等将近似模型应用到主轴箱的稳健优化设计中，考虑了不确定参数的影响，相对分析性稳健优化设计，基于近似模型的优化设计解决了复杂设计难以直接建立数学模型的问题，为工程实际中复杂工程的优化设计提供了方便[10]。目前，在起重机方面处理不确定性的方式大多为可靠性优化设计，而针对起重机结构稳健性进行研究的人较少，基于近似模型的起重机结构稳健性设计更少。
当起重机满载小车位于主梁跨中时，主梁受力情况复杂，其强度、刚度与设计参数的映射关系很难用一个显式函数表达清楚。为此，本文将近似模型方法应用到起重机主梁的结构稳健优化设计中。利用APDL 语言建立起重机金属结构的有限元仿真模型，并对其强度、刚度和稳定性进行分析，利用传统的许用应力法对其进行校核，确保有限元模型的准确性，然后利用拉丁超立方体抽样方法抽取样本点，利用Isight 集成软件拟合强度、刚度对各设计变量的响应函数关系式，建立基于方差的多目标稳健优化设计模型并利用灰色绝对关联度进行多目标优化设计求解。
1 起重机有限元模型的建立与模型验证
1.1 简化的起重机有限元模型建立
建立起重机金属结构的有限元模型，为了方便建模，在不影响分析的情况下对模型进行简化，并采用如下假设：1）整个金属结构是一体的，代替实际焊接；2）不建立轨道，轨道对主梁结构的强度、刚度影响很小；3）主梁上翼缘板相应位置取节点群施加载荷以模拟轮压位置的载荷( 在小车轮压的位置取4 个节点)。考虑起重机箱形梁结构的板厚与长度的比例较大，采用面单元进行网格划分，最终形成的节点数为31 344 个，图1 为起重机箱形梁结构的有限元模型。
图1 起重机主梁金属结构有限元模型
1.2 模型验证
由于有限元建模过程中的简化和仿真分析过程中会产生误差，有限元模型能否反映实际的系统响应，满足实际工程的需要，必须对其进行验证。本文主要采用许用应力法来验证有限元模型的精确性。表1 为有限元应力值、变形值与理论应力值、变形值比较。由表1 可看出起重机金属结构的应力有限元值与理论计算值的误差在5% 左右，变形有限元值与理论计算值的误差在10%左右，可以代替理论计算。
2 代理模型与稳健优化设计模型
2.1 试验设计
为了建立响应面模型需要通过试验设计获得拟合需要的样本点，获得样本点的过程就叫做试验设计。本文使用拉丁超立方体抽样方法获取样本点，拉丁超立方体抽样方法是一种充满空间的分层抽样方法，假定试验设计中因子个数为n，每个因子的取值范围为：xi ∈（xil，xiu），i ＝（1，2，3，…，n）。拉丁超立方抽样的过程则可为三步：1）定义抽样的数目N；2）把每一次输入等概率地分成N 列；3）对每一列仅抽取一个样本。拉丁超立方体设计具有样本记忆功能，能避免重复抽取已出现过的样本点，抽样效率较高，它能使分布在边界处的样本点参与抽样，该方法的优点是可在抽样较少的情况下获得较高的计算精度。根据模型的复杂程度，确定样本点的个数，一般对于5 ～ 10 个变量的问题，样本点数建议取1.5×（n+1）·（n+2）/2，对于20 到30 个变量的问题，样本点个数一般建议取4.5×（n+1）·（n+2）/2，n 为变量个数。
2.2 近似模型
近似模型是一种用计算量小但在设计过程中能满足设计要求的数学模型代替原来的不能或很难用显示函数表达的仿真系统的模型，相对高精度数值模型来说，近似模型计算量小、计算简单，但计算结果与仿真结果高度逼近。用近似模型取代传统大量物理实验和复杂的数值模拟分析，在一定程度上推动了多学科、多目标优化设计的发展。响应面模型是通过在设计空间内选取样本点，然后利用最小二乘法拟合函数建立近似模型，其不仅拟合模型简单，且可消除函数噪声，降低计算成本。因此，本文选用二阶多项式响应面模型进行模型拟合，其形式为
式中： ˆy 为近似函数，xi 为设计变量，k 为样本点的个数，β 为常数项，βi、βii、βij 为一次项、二次项和交叉项的系数。
2.3 近似模型的精度检验
式中：yi 为真实响应值； ˆi y 为响应面估计值；为真实响应值的均值；k 为检验样本点的个数；R2 为拟合优度指标，越接近1 说明拟合精度越高。
2.4 稳健优化设计模型
传统确定性优化设计模型为
式中：x、x1、xu 分别为设计变量及其上下界，f（x）为目标函数，m 为个约束函数。
用方差来度量系统的稳健性，考虑变量间相互独立，建立基于方差的稳健优化设计模型，即
与确定性设计的目标函数相比较，稳健优化设计目标函数加了所有约束条件的标准差，保证在得到目标函数最优解的同时降低其对设计变量的敏感性，约束条件中加入约束条件的标准差可保证最优解远离约束边界，即保证解的可行性。
3 多目标优化设计的灰色绝对关联度求解
灰色理论主要是利用灰色关联度来分析事物的因素与发展态势的相似程度，通过利用灰色关联度确定影响事物发展态势的主要因素，关联度越大说明事物的因素对事态发展影响越大，否则就越小。灰色关联度克服了传统利用数理统计分析需要大量数据的不足，是一种需要样本数据小、计算简单的分析方法。
设基准序列为s0，t 为多目标函数的个数，目标序列为s，则基准序列与目标序列的绝对关联度为
灰色绝对关联度的一条重要性质是基准序列和目标序列任何一个发生变化时绝对关联度都会发生变化，这对优化设计的迭代计算具有重要意义。因此，可利用关联度求解优化问题，一般优化设计都是极小化目标函数，而关联度计算是取最大关联度，故优化问题中引入灰色差异度为
利用灰色绝对关联度可将多目标优化问题转化为以差异度为目标的单目标优化问题，由灰色差异度公式可知差异度越小，绝对关联度越大，目标序列越接近基准序列，则优化值越接近理想值。本文利用灰色绝对关联度求解多目标优化问题，以各目标函数单目标优化时的最优值组成基准矢量序列，各目标函数综合评价时优化设计得到的值为目标序列，通过最大化基准矢量序列与目标序列的绝对关联度即最小化差异度得到最优解。
4 起重机主梁的多目标稳健优化设计模型
起重机主梁结构的质量占总质量的60%，起重机主梁的稳健性决定着整个金属结构的稳健性，衡量起重机主梁性能的指标主要是主梁的强度、刚度和稳定性。影响性能指标的因素主要是主梁截面尺寸、起升载荷等可控因素和材料特性等不可控因素，本文主要考虑截面尺寸的不确定性对起重机主梁性能指标的影响，以降低主梁的重量和降低主梁的强度、刚度等性能指标对设计变量的敏感性为目标。不确定参数的取值范围见表2。
4.1 近似模型的拟合
利用100 组实验数据为样本点，通过用Isight 多学科设计集成软件中的响应面模块对主梁跨中垂直静刚度和最大应力构建二次多项式响应面模型，拟合公式为
静刚度Y 的拟合优度指标R2 为0.999 83，强度的拟合优度指标R2 为0.999 98，可见模型拟合优度指标均大于0.9 且接近1，精度很高，可代替实际模型进行计算。用主梁截面面积来表示主梁的质量，即
4.2 基于代理模型的起重机主梁多目标稳健优化设计
将代理模型代入稳健优化模型中，建立起重机主梁的多目标稳健优化设计模型为
式中：σ2Y（X）为静刚度按一阶展开的方差，σ2σ（X）为强度按一阶展开的方差。
4.3 多目标稳健优化求解
设f 为截面面积，利用前述灰色绝对关联度多目标求解方法进行优化求解，并依据式（4）、式（5）得出
4.4 实例分析
表3 为确定性结构优化与稳健优化结果对照表。从表中可看出，稳健优化由于考虑了不确定参数的影响比确定性优化的质量增加了10.43%，增加的质量用来抵抗不稳定性。
表4 为确定性结构优化与稳健优化后各性能值对照表。从表中可看出，传统的确定性优化后σ ＝ 166.75MPa，Y ＝ 43.91mm，均接近各自的临界值176 MPa、45 mm，易发生失稳现象。稳健优化后σ、Y 分别131.7MPa、36.16mm，其比确定性优化具有更高的稳健性，证明本文所用稳健优化设计方法的正确性。
表5 为稳健优化前后各性能对各参数的灵敏度。稳健优化后，应力σ 对设计参数[h,b, k, k1, k2 ]的灵敏度分别下降了9.59%、39.44%、20.98%、0.063%、6.1%； 垂直静刚度Y 对设计参数[ ] h,b, k, k1, k2 的灵敏度分别下降了74%、6.52%、9.43%、26.38%、6.46%；结果表明本文稳健优化设计方法的有效性。
5 结论
1) 利用拉丁超立方体抽样方法进行抽样，建立了起重机主梁结构性能指标的近似数学模型。
2) 将灰色绝对关联度理论应用在多目标问题的求解中，将多目标优化问题转化为以灰色差异度为单目标的单目标优化设计问题，简单快捷地得到了优化设计问题的有效解。
3) 基于多项式响应面模型的起重机主梁稳健优化结果表明，在满足约束条件的情况下，性能指标对各设计参数的敏感性降低。
参考文献
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