1.自行车的发明简史[1]
自 1791 年法国人 Sicrac 骑着装两个木轮的 “木马” 在路易十六王宫的大草坪上奔跑时算起，自行车的出现已有两百多年历史了。不过 Sicrac 的带轮木马还算不上是真正的自行车，因为他的木马没有车把，没有脚蹬，车子的驱动全靠他自己双脚的奔跑。20 多年后，1817 年德国的 Drais 男爵为带轮木马装上活动车把，使木马的转向更为灵活，双脚能暂时离地滑行。这个被称为 “步行机器” (Laufmaschine) 的新发明在巴黎展出以后，很快成为风行 19 世纪欧洲的消遣玩意（图 1）。
图1 Drais 步行机器
1839 年苏格兰人 McMillan 在后轮装上脚蹬，实现了脚踏驱动前进，成为名副其实的自行车。1860 年法国人 Lallement 将脚蹬装在前轮，前轮设计得比后轮大，目的是想使每脚踏一圈前进的距离更长些。1870 年英国人 Starley 为提高前进速度，将前轮的直径增大到双脚刚好够得着脚蹬的程度。这种高轮车曾在欧美各国流行一时，被戏称为 “1又1/4便士” (Penny-farthing)。因为高大的前轮带一个矮小的后轮恰似一个大硬币配一个小硬币（图 2）。不过高轮车的设计思想也受到力学规律的惩罚。首先是骑这种车的难度很大，不经过杂技演员式的训练决不敢骑。而且很不稳定，前轮一旦遇到障碍或需要紧急刹车时，高高在上的骑车人就会在惯性作用下朝前方摔下来。从安全因素考虑，要将前轮减小后轮增大，于是两个轮的大小逐渐变得完全相同。
图2 高轮车
1885 年高轮车发明人Starley 的侄子和 Lawsen 发明了用链条传动驱动后轮。1888 年爱尔兰人 Dunlop 发明了充气橡皮轮胎。至此自行车完全定型，一百多年来直到现在，自行车的基本结构没有明显变化（图 3）。
图3 1890 年的自行车
2.自行车的力学原理：
作为最普及的交通工具，自行车几乎人人会骑。但要回答为何静止时一推就倒的自行车却能稳定行驶的问题并不容易。自 1899 年剑桥学生 Whipple 发表自行车力学论文开始，关于自行车力学原理的研究和讨论从未间断，发表的文献已近百篇，至今讨论仍在继续。
关于自行车的稳定性，最流行也被普遍认可的解释是离心力效应和陀螺效应。1911 年 Appell 的经典力学教材《Traité de mécanique rationnelle》里就已将自行车为对象，做了严格的力学分析（图4）。1948 年 Timoshenko 和 Young 编著的高等动力学教材里，对自行车的离心力效应有详细的分析和数学推导[2]。关于自行车陀螺效应的解释见于 1911 年 Klein 和Sommerfeld[3]，以及 1950 年 Grammel[4] 为代表的陀螺力学著作。
图4 Appell分析自行车运动的插图
为说明离心力效应，先假设骑车人已掌握了骑车要领，善于控制把手使前轮朝车身倾斜方向转动，转角为ψ。前轮的偏转改变了前轮的前进方向，使自行车转为曲线运动。设地面上与前后轮速度矢量 v1 和 v2 正交的直线相交于 O点，即自行车的瞬时速度中心。设车体的质量和速度为m和 v，质心 Oc与 O 点的水平距离为R，Oc 与地面的垂直高度为 h，则车体绕 O 点的曲线运动产生离心惯性力 Fc = mv2/R。此离心力与倾斜方向相反，能克服车身因倾斜产生的重力矩，将自行车拉回到垂直位置而保持稳定（图 5）。
图5 自行车的离心力效应与陀螺效应
根据以上分析，离心力效应的必要条件是前轮朝车身倾斜方向转动。而陀螺效应有助于完成此动作。设车体向左侧倾斜的角速度为ωx，前轮的动量矩为 L，则产生沿垂直轴向上陀螺力矩 Mz = -ωx×L（关于陀螺力矩的由来可参阅博文 “陀螺力矩与鱼鹰飞机” ）。此力矩驱动前轮绕前叉轴朝倾斜方向转动产生角加速度，当角加速度随时间积累成角度ψ时，自行车就改变前进方向产生离心力效应。
此外，当车体的倾斜角速度 ωx积累成倾斜角度θ时，重力产生倾覆力矩mghθ。此力矩导致前轮的动量矩 L绕垂直轴进动，产生绕前叉轴的转动角速度ωz，形成与重力矩方向相反的陀螺力矩 Mx = -ωz×L与重力矩抗衡，使车体停止倾覆。而角速度 ωz的出现也有助于前轮完成正确的转向。
由此可见，有两种陀螺效应同时存在：车体的侧向倾斜角速度ωx 产生的陀螺力矩 Mz 促使前轮绕前叉轴朝倾斜方向转动，使离心力效应发挥稳定作用。而侧向倾斜角 θ 导致重力矩和与之平衡的陀螺力矩 Mx使车体停止倾覆，直接起稳定作用。
3.对力学解释的质疑和探索
离心力效应和陀螺效应流行了数十年，却于 1970 年出现了问题。英国的一位化学家 Jones 对传统的自行车陀螺效应产生怀疑。他设计了一辆特殊自行车，在前轮上并排安装了一个同样大小但不接触地面的轮子。两个轮子同方向旋转时可产生加倍的陀螺效应，若反向旋转则陀螺效应被抵消为零。奇怪的是这两种情况对自行车的稳定性并无太大影响。骑行无陀螺效应的自行车，即使双手脱把也照样能稳定不倒（图6）[5]。他的论文于 2006 年重新刊出，多处被引用和讨论。 2012 年 1 月，美国的网络版科普杂志《Discover Magazine》评选了 2011 年全球 100 个顶尖科学故事。其中的 “自行车的新物理” 荣居第 26 位，掀起了一股重新认识自行车力学原理的热潮。
图6 Jones的无陀螺效应自行车
关于陀螺效应的分析在理论上并无漏洞，Jones 的无陀螺效应自行车的实验也不能完全否定陀螺效应的存在。问题在于前轮的动量矩太小，产生的陀螺效应太微弱，以致被其它更重要的稳定因素所掩盖。笔者曾在算例中估计在受控情况下，车轮的陀螺效应仅占稳定性因素的 3% 左右[6]。问题是除陀螺效应以外还有没有更重要的其它稳定因素？
早在半个世纪以前，德国的 Grammel 教授在 1950 年出版的陀螺力学著作中就已提出与自行车稳定性有关的另一个重要因素，即前叉转轴与前轮的相对位置[4]。Grammel 认为，要使自行车有稳定能力，前叉转轴与地面的交点必须位于前轮与地面接触点的前方。设车身的对称平面为 Π，前叉相对垂直轴的倾角为 d，前叉支在前轮的中心 O点处，与前叉转轴的距离为 d。前叉转轴的延长线与地面的交点为 Q，Q点在前轮与地面的接触点 P 的前方，与 P 点的水平距离为Δ（图7）。车身通过前叉在前轮中心处作用的重力 W与地面在 P 点作用的法向约束力 FN 平衡，FN = W。当车身连同前叉向右侧倾斜 θ 角时，沿垂直轴的重力 W和法向约束力FN 不再共线，而是朝 Π平面的不同侧偏离 Π平面。二者沿 Π平面法线方向的投影分别为Wsinθ 和 FNsinθ，且分别以d 和 Δcosd为力臂，产生绕前叉转轴方向相同的力矩 M = Wsinθ (d+Δcosθ)推动前叉转动。转动方向恰好与车身倾斜方向一致，从而产生与陀螺效应相同的结果，使离心力效应发挥稳定作用。
图7 自行车前叉和前轮的受力图
Grammel 提出的观点当时并未引起太多注意，Jones 却做了更仔细的研究。他通过多次实验探寻自行车前叉结构的几何参数对稳定性的影响。使用图 7 中的符号，以 Q点表示前叉转轴与地面的交点，P点表示前轮与地面的接触点。实验结果证实，Q 在 P 的前方时（图 8a），即使消除陀螺效应，自行车也能稳定。而 Q 在 P 的后方时，自行车无论如何操纵都不可能稳定（图 8b）。Jones 实验的重要贡献在于，他重申并确立了影响自行车稳定性的又一重要因素，可称之为 “脚轮效应”（castor effect）。
图8 自行车的脚轮效应
脚轮效应名词的由来是因为超市购物车的脚轮总是保持在转轴的后方而自行稳定。一旦脚轮的滚动偏离购物车前进方向，侧向摩擦力即推动脚轮转到与行走方向一致的位置（图 9）。自行车的前轮与超市购物车的脚轮有相似之处。当你手扶坐垫向前推车时，前轮很容易顺从前进。如向后倒退，前轮就左右摇晃，表现出明显的脚轮效应。
图9 超市购物车
4.骑车人的控制作用
自行车的运动离不开人的驾驶。早期的研究多将自行车视为由车身、前叉、前轮、后轮等刚体组成的多体系统。即使考虑驾车人的存在，也简化成固定在车身上的刚体。基于这种模型的计算曾得出行驶速度超过每小时 20 公里可导致不稳定的结论。Grammel 早已指出此结论明显错误，完全违反人们的骑车实践。因为按照经验，骑车速度愈快愈容易稳定。错误的根源在于忽视了骑车人通过操纵车把和调整躯体姿态对自行车的控制作用。这个道理是显而易见的，对于没学会骑车的人而言，骑上再好的自行车也不可能稳定。
由此可见，自行车的运动并非纯粹的经典力学问题。对自行车的力学分析必须考虑驾车人的控制作用，即依据对车体姿态的感知随时操纵车把和调整自身躯干的姿态。若在简单自行车模型上增加骑车人对车把的控制，控制规律简化为令前叉转角ψ随车身倾角 θ按比例变化，即ψ = kθ。计算得到的比例系数 k的稳定域取决于速度，速度愈快k的下限愈低，对车把的控制愈轻便。此结果显然更接近实际情况[6]。
考虑骑车人控制作用的自行车稳定性研究对无人自行车的设计有重要作用。2016 年 Google 宣布已造出自动行驶的无人自行车，引起不小的轰动。但随后声称只是个愚人节玩笑。但据报导，自平衡无人自行车已在清华大学自动化系制造成功，2017 年在美国奥斯汀的 NI WEEK 2017 大会中做过展示，且入围 NI Engineering Impact Awards [7]。
1982 年，英国人 Lowell 和 McKell 曾考虑离心力效应、陀螺效应和脚轮效应等所有稳定性因素，建立了较完善的自行车数学模型。同时利用前叉转角ψ随车身倾角 θ按比例变化的控制规律 ψ = kθ对车把施加控制。但所导出的特征根存在正实部，表明即使考虑所有稳定因素，此简单的控制规律仍未能使自行车保持稳定[8]。因此无法从理论上解释自平衡无人自行车已成功实现的现实。但若将对前叉转角ψ的控制改为对车把控制力矩 Mcy的控制，且在控制规律内增加前叉角速度 dθ/dt的因素，令 Mc y= Jy[k1θ+ k2(dθ/dt)]。则选择适当的系数 k1, k2就能使系统实现渐近稳定性。具体计算过程可参阅附录。
综上所述，自行车的内在稳定性因素主要来自离心力效应和脚轮效应，而驾车人的控制对行驶中的自行车稳定性起决定性作用。对自行车行驶动力学的研究必须考虑驾车人的控制作用，对控制规律的深入研究对设计和实现自平衡无人自行车有重要意义。
参考文献
6.刘延柱. 自行车的受控运动. 力学与实践，1995, 17 (4) : 39~42
（改写自： 刘延柱. 关于自行车的稳定性. 力学与实践，2012，34(2): 90-93
刘延柱. 再谈无人自行车的自稳定性. 力学与实践. 2020, 42(1): 116-118）