韩松君 李 莉 张 恩 董明晓 宋世军
1 平头塔机有限元模型采用Ansys 软件分析平头塔机的振动问题，建立平头塔机的有限元模型，为了避免产生具有不同节点自由度单元的连接问题，应尽量减少单元类型的数目，基于这一原则，对平头塔机部分结构进行简化。
1.1 模型简化1）运行机构的简化平头塔机的3 大运行机构均由电动机、卷筒和减速器等构件组成，这些构件的实体尺寸小，质量集中，故将这些构件在有限元模型中用质量单元等效。其中，回转机构还包括下支座、回转支承和上支座等构件，这些构件相对于起重机的整体结构，几何尺寸小、刚度大，且局部实体部分不易失稳，所以采用梁单元进行等效。
2）小车和货物的简化货物是通过吊钩和钢丝绳悬挂在小车的正下方，随着小车沿着起重臂往返运动，运输到指定的位置。因此，将货物、吊钩、钢丝绳和小车等效为沿着起重臂移动的载荷，即移动载荷。
3）起重机底座的简化平头塔机底座与地基通过地脚螺栓紧密相连，且结构刚度大，能承受大的弯矩和扭矩，故将起重机有限元模型底座的4 个节点视为固定点，把4 个节点的所有自由度（UX、UY、UZ、ROTX、ROTY、ROTZ）全部约束掉。
1.2 单元类型选择平头塔机是典型的桁架结构，由角钢、圆钢、方钢和槽钢等钢材通过焊接、螺栓联接或销轴连接而成。起重机主要承受自身和货物的质量，同时还承受风载荷作用，故整机结构承受着弯矩、扭矩、拉力、压力和剪力的作用。基于这一特点，塔身、起重臂、平衡臂和回转节等结构选用具有拉压、弯曲和扭转刚度的Beam 188空间梁单元进行建模。电动机、滚筒等具有几何尺寸小、质量分布集中的起重机构件，采用具有1 节点6 自由度的Mass 21 质量单元进行等效，能更好地体现出构件在三维结构中的质量集中现象。
1.3 平头塔机有限元模型根据TCICES1.0 平头塔机的尺寸，以1:6 的比例设计制造了起重机试验台。该试验台选用Q345 钢材，弹性模量E ＝ 2.06×1011 Pa，泊松比μ ＝ 0.3，密度ρ ＝7 850 kg/m3，高度为2.530 m，起重臂长度为3.900 m，平衡臂长度为0.497 m。根据平头塔机各杆件的截面形状和尺寸，采用自底向上的建模方法构建平头塔机有限元模型。平头塔机的振动特性主要表现在塔身和起重臂的振动，据此建立惯性直角坐标系{o 0,x 0,y 0,z 0}，坐标系原点取在起重机的回转中心线与塔身底座平面的交点处。起重臂和平衡臂在随着塔身振动的同时自身也在振动，两者振动相互耦合。根据这一振动特性，建立非惯性直角坐标系{o 1, x 1, y 1, z 1}，坐标原点取在起重机回转中心线与起重臂回转平面的交点处。
2 平头塔机振动模态分析2.1 振动模态分析理论平头塔机模态分析是把平头塔机的整体结构离散为数量有限个单元，且不考虑平头塔机整机结构的阻尼，从而将平头塔机整体看做为无阻尼系统，然后对这一无阻尼系统的振动特性进行分析，对应具有n 个自由度的无阻尼自由振动系统微分方程[6]
式中： x和x分别为节点的n阶位移向量和加速度向量，M 是n× n的质量矩阵，K 是n× n的刚度矩阵。设微分方程的特解式中：ϕ 为自由振动的幅值。将式（2）代入式（1）中，得在自由振动时，结构中各节点振幅不全为0，即ϕ不全为0，式（3）有非零解的充分必要条件是系数矩阵行列式为零，即式（4）是关于ω 2 的n 次代数方程，设无重根，可求结构的n 个互异正根ωi（i ＝ 1，2，…，n ）。其中，0 ＜ω 1 ＜ω 2 ＜ω 3 ＜…＜ωn，ωi 为振动系统的第i 阶主频率，即系统的第i 阶固有频率。对于每阶固有频率，都可以确定一组各节点的振幅值，φi ＝ [φ 1i , φ 2i …, φni ]T（i ＝ 1,2,…, n ）。将n 个特征向量φi 排列成一个n × n的矩阵，φi ＝ [φ 1 , φ 2 …, φn ]，称为系统的特征矢量矩阵，又称为模态矩阵。
模态分析实质上是分析平头塔机有限元模型中各节点位移的比例关系，每阶固有频率都对应着一组固有振型，它们之间相互垂直，构成了n 维线性空间。因此，平头塔机结构的振动特性可以在模态坐标系中通过线性迭加计算得到，这种线性迭加关系可表示为
式中：向量x 是物理坐标系中的坐标，yi 是在模态坐标系中的模态坐标。
2.2 平头塔机模态分析由结构振动模态分析理论可知，一个多自由度振动系统的低阶固有频率容易被激励，所以多自由度振动系统的振动特性主要表现为低阶频率振动。因此，提取低阶固有频率和振型来分析平头塔机结构的振动特性。模态提取最常用的方法是Subspace 法，该方法使用子空间迭代技术，通过内部使用广义Jacobi 迭代算法，采用完整的刚度矩阵K 和质量矩阵M，因此精度很高。本文采用Subspace 法提取平头塔机有限元模型的前10阶振动模态，其固有频率如表1 所示，振型图如图1 所示。表1 和图1 有效地显示出塔身、起重臂和平衡臂的振动特性。
图1 平头塔机前10 阶模态振型图
3 运行机构运动对振动模态的激励作用平头塔机包括3 大运行机构，通过这3 大运行机构的运动来实现货物的抓取、运输和就位的工作过程，每一个工作过程都包括加速、匀速和减速运动，加、减速运动产生冲击载荷，冲击载荷可激励起重机的振动模态。从表1 和图1 中可以看出，1 阶模态的固有频率为8.19 Hz，是起重臂绕着塔身在x 1o 1y 1 平面内弯曲振动，回转运动产生的惯性力矩和离心力可以激励这一阶振动模态；2 阶模态的固有频率为9.55 Hz，是起重臂绕o 1y 1轴在x 1o 1z 1 平面内弯曲振动，起升运动产生的惯性力或回转运动产生的离心力可激励这一阶振动模态。另外，变幅运动改变了货物作用于起重臂上的弯矩，也可能激励这一振动模态；3 阶模态的固有频率为18.92 Hz，是整个起重机绕o 0y 0 轴在x 0o 0z 0 平面内弯曲振动，起升运动产生的惯性力可激励这一阶振动模态；4 阶模态的固有频率为24.24 Hz，主要是整个起重机绕o 0x 0 轴在y 0o 0z 0 平面内弯曲振动，同时起重臂绕着o 1x 1 轴在y 1o 1z 1平面内小范围扭转振动，回转和起升运动共同作用产生的惯性力、离心力和科氏力可激励这一阶振动模态；5 阶模态的固有频率为27.97 Hz，是起重臂绕着o 1x 1 轴在 y 1o 1z 1 平面内自身的扭转振动，回转运动产生的惯性力和离心力与货物在y 1o 1z 1 平面内的摆动共同作用可激励这一阶振动模态；6 阶模态的固有频率为42.75 Hz，主要是起重臂绕着塔身在x 1o 1y 1 平面内弯曲振动，同时整个起重机绕o 0x 0 轴在y 0o 0z 0 平面内小范围弯曲振动，回转运动产生的惯性力和离心力可激励这一振动模态；7 阶模态的固有频率为52.61 Hz，是起重臂绕o 1y 1 轴在x 1o 1z 1 平面内弯曲振动，起升机构频繁地起、制动产生的惯性力可激励这一阶振动模态；8 阶模态的固有频率为73.09 Hz，是起重臂绕着塔身在x 1o 1y 1 平面内弯曲振动，回转运动产生的惯性力矩和离心力可以激励这一阶振动模态；9 阶模态的固有频率为84.53 Hz，是起重臂在y 1o 1z 1 平面内自身的扭转振动，回转运动产生的惯性力和离心力与货物在y 1o 1z 1 平面内的摆动共同作用可激励这一阶振动模态；10 阶模态的固有频率为90.45 Hz，主要是起重臂在绕o 1y 1 轴在x 1o 1z 1 平面内弯曲振动，同时塔身沿o 0z 0 轴上下振动，起升机构频繁地起、制动产生的惯性力可激励这一阶振动模态。
4 起升运动引起起重臂的振动响应分析在平头塔机有限元模型的起重臂节点298、300 处施加500 N 重力，模拟起升机构在抓取货物的瞬间起重臂的振动响应，然后在起重臂上依次选取421、448 和453 等节点，这3 个节点的振动响应如图2 所示。
由图2 可以看出，这3 个节点上的振动主要由2 个模态的振动叠加而成，一个振动模态的振动周期为0.11s，即振动频率为9.55 Hz，振动幅值分别为0.19 mm、1.90mm 和3.75 mm。另一个振动模态的振动频率为42.75Hz，振动幅值分别为0.05 mm、0.75 mm 和1.50 mm，起重臂上各节点做周期相同，振幅不等的等幅振动。比较表1 和图2 可知，起升机构在抓取货物瞬间产生的惯性力主要激励了起重机的第2 阶振动模态，同时还激励了第6 阶振动模态，这符合结构振动的振型叠加原理。
图2 起升机构抓取货物瞬间起重臂的振动
5 结论本文采用Ansys 软件建立平头塔机有限元模型，提取起重机前10 阶振动模态的固有频率和振型，通过在有限元模型上仿真，验证了在抓取货物的过程中起升机构产生的惯性力对整机结构振动响应的规律。研究结果证明：机构运动惯性力激励在机构运动平面内的振动模态，回转运动离心力激励在起重臂铅垂平面内的振动模态，科氏力激励回转运动切平面内的振动模态，且低阶模态的振动幅值远远大于高阶模态的振动幅值。平头塔机在不同工况下的结构振动是由被激励的多个模态的振动响应叠加而成。
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