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1、结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 第十一章 影响线及其应用 11-1 影响线的概念影响线的概念 11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线用静力法作单跨静定梁的影响线 11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 11-5 多跨静定梁的影响线多跨静定梁的影响线 11-6 桁架的影响线桁架的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 11-9 最不利荷载位置最不利荷载位置 11-10 换算荷载换算荷载 11-11 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩 11-12 简
2、支梁的包络图简支梁的包络图 11-7 利用影响线求量值利用影响线求量值 11-8 铁路和公路的标准荷载制铁路和公路的标准荷载制 本章总结本章总结 自测题自测题 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 移动荷载：荷载大小、方向不变，荷载作用点随时间改变，结构所产 生加速度的反应与静荷载反应相比可以忽略，这种特殊的作用荷载称 移动荷载。(车辆荷载、人群荷载、吊车荷载等) 固定荷载：荷载的大小、方向和作用点在结构的空间位置上是固定 不变的。 一、移动荷载 结构在固定荷载作用下，其反力和各处的内力与位移也是不变的。 11-1 影响线的概念 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返
3、回 退 出 3:35 在结构分析和设计中，必须解决以下问题： （1）某量值的变化范围和变化规律； （2）计算某量值的最大值，作为设计的依据。这就要先确定 最不利荷载位置即使结构某量值达到最大值的荷载位置。 影响线是解决以上问题最方便的工具和手段。 结构在移动荷载作用下，其反力和各处的内力与位移(统称为量值)将 随着荷载位置的不同而变化。 11-1 影响线的概念 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 数字和量纲均为1，可以在实际移动荷载可 到达的范围内移动。 影响线定义:当一个方向不变的单位荷载在结构上移动时，表示结构 某指定截面处的某一量值变化规律的函数图形，就称为该量
4、值的影响 线。 二、影响线的概念 最典型的移动荷载： 单位移动荷载 11-1 影响线的概念 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 f=1 fr f=1 fr =1 f=1 fr =0 y x 3/4 1/2 1/4 1 -反力fr的影响线 影响线定义 单位移动荷载作用下某 物理量随荷载位置变化规 律的图形。 f=1 fr =3/4 l/4 f=1 fr =1/2 l/2 f=1 fr =1/4 3l/4 11-1 影响线的概念 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 f x l b =1 a 1 y 1 y 2 1 在研究移动荷载作用所产生的影响时
5、，只要把单位移动荷载作用下 对某量值的影响分析清楚，根据叠加原理，可求得各种实际移动荷载 对该量值的影响。 ff1 2 2211 yfyffb fb的影响线 绘制影响线的方法： 静力法静力平衡条件； 机动法虚位移原理。 11-1 影响线的概念 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 3. 根据函数关系，绘制出该量值的影响线。若影响线为正值，则 绘于y 轴正向；反之，绘于y 轴负向。 一、简支梁的影响线 用静力法绘制图示简支梁ab的反力、弯矩和剪力影响线。 建立坐标系以a点为坐标原点，以x 表示荷载 f=1作用点的 横坐标。 用静力法作静定梁影响线的基本步骤： 1. 建立坐
6、标系。选取坐标原点，以f=1的移动方向为x轴（x 轴的指 向可以任意假设），以与f=1指向相反的方向作为y 轴正方向建立坐 标系。 2. 建立静力平衡方程，将该量值表示为x 的函数。 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 1. 支座反力的影响线 (1) 反力fya的影响线 取梁整体为隔离体，由 0)(1 xllfm yab fya的影响线方程为 l x l xl fya 11 )0(lx fya 是x 的一次函数，影响线为一直线。 只需定出两点的纵坐标即可绘出影响线。 把正的纵坐标画在基线的上面并标上正号。 1, 0 ya fx0,
7、ya flx f l ba c a b fya fyb =1 x 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 (2) 反力fyb 的影响线 由 0 lfxfm yba 得 l x l x ffyb )0(lx 此即fyb 的影响线方程。由两点的纵坐标 即可绘出fyb 的影响线. 由于单位荷载f=1的量纲是1，所以反力影响线的纵坐标的量纲也是1。 0, 0 yb fx 1, yb flx b l a fyb =1f x c a b fya 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 2.弯
8、矩的影响线 作弯矩的影响线时，首先明确要 作哪一个截面的弯矩影响线。现拟作 图示简支梁截面c 的弯矩影响线。 当荷载f=1在截面c的左方移动时，为了计算简便，取梁中cb段为 隔离体，并规定以使梁下面纤维受拉的弯矩为正，由mc = 0 ，得 由此可知，mc 的影响线在截面c 以左部分为一直线，由两点的纵坐 标 00 c xm， )0(axb l x bfm ybc b l a fyb =1f x c a b fya c ab xa m l ， 即可绘出ac 段mc 的 影响线。 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 当荷载f =1在截面
9、c 的 右方移动时，取梁中 ac 段 为隔离体，再由 mc = 0 ，得 由此可知，mc 的影响线在截面c 以右部分也为一直线， 由两点的纵坐标 c ab xam l ，0 c xlm， )(lxaa l xl afm yac b l a fyb =1f x c a b fya 即可绘出bc段的mc影响线。 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 mc 的全部影响线是由两段直线所组成，直线的相交点位于截面c 处的纵坐标顶点。通常称截面以左的直线为左直线，截面以右的直线 为右直线。 分析弯矩影响线方程可以看出，mc的左直线为反力fya 的
10、影响线将 纵坐标乘以b而得到，右直线可由反力fyb的影响线将纵坐标乘以a而得 到。因此，可以利用fya和 fyb的影响线来绘制弯矩mc的影响线：在左、 右两支座处分别取纵坐标a、b，将它们的顶点各与右、左两支座处的零 点用直线相连，则这两根直线的交点与左、右零点相连部分就是mc的影 响线。这种利用已知量值的影响线来作其他量值影响线的方法，能带来 较大的方便。 由于单位荷载f=1的量纲是1，故弯矩影响线的量纲为长度的量纲。 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 3.剪力影响线 作剪力影响线同样要先指定截 面的位置，并分别考虑荷载f=1在
11、 指定截面的左方和右方移动。现 拟作图示简支梁截面c的剪力影响 线。 当荷载f=1在截面c的左方移动时，取右边cb段为隔离体，并规 定使隔离体有顺时针转动趋势的剪力为正，则 l x ff ybc s )0(ax 当荷载f=1在截面c的右方移动时，取左边ac段为隔离体，则 b l a fyb =1f x c a b fya l xl ff yac s )(lxa 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 由以上两式可知：在截面c以左，剪力的fsc影响线与fyb的影 响线的各纵坐标数值相等，但符号相反；在截面c 以右，剪力fsc的 影响线与的
12、fya影响线完全相同。据此，可作出剪力fsc 的影响线， 显然，它的左直线与右直线相互平行，且在截面c 处发生突变，突变 值为1。 l x ff ybc s )0(ax l xl ff yac s )(lxa 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 二、伸臂梁的影响线 伸臂梁影响线的作法与简 支梁类似。 1.反力fya 、fyb 的影响线 仍以a点为坐标原点，以x表示荷载f=1作用点的横坐标，向右为 正，向左为负。利用整体平衡条件，可分别求得反力 fya 、fyb 的影 响线方程为 )( 1 21 llxl l x f l x f yb
13、 ya f x cab fyafyb =1 de ll1l2 ba 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 当f=1位于a点以左时，x 为负值。以上两方程与简支梁的反力 影响线方程完全相同，在梁的全长范围内都是适用。 因此只需将简支梁的反力影响线向两个伸臂部分延长，即得伸 臂梁的反力影响线 。 )( 1 21 llxl l x f l x f yb ya f x cab fyafyb =1 de ll1l2 ba 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 当荷载f=1在截面c的左方
14、移动 时，弯矩mc 和剪力fsc影响线 方程为 2.两支座之间的截面弯矩和剪力 影响线 ybc ybc ff bfm s )( 1 axl 当荷载f=1在截面c的右方移动时， 弯矩mc和剪力fsc 影响线方程为 yac yac ff afm s )( 2 llxa 由影响线方程绘出mc和fsc影响线。 也可将简支梁相应截面的mc和fsc影响线的左、右直线两伸臂部分延 长而得伸臂梁的mc和fsc影响线。 f x ca b fyafyb =1 de ll1l2 ba 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 3. 截面k的弯矩mk和剪力fsk
15、影响线 在求伸臂部分上任一指定截面k的弯矩mk 和剪力fsk影响线时，改 取k点为坐标原点，并规定x以向左为正。 当荷载f=1在截面k的左方移动时，取截面k以左部分为隔离体，则 由平衡条件可得弯矩mk和剪力fsk影响线方程为 1 sk k f xm ） 1 0(lx x ba c abdek d =1f 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 当荷载f=1在截面k的右方移动时，任取截面k以左部分为隔离体， 则 0 0 sk k f m 据此可绘出弯矩mk和剪力fsk 影响线。 只有当荷载作用在da段时，才对mk 、 fsk 有影响。 x
16、 ba ca bdek d =1f 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 4. 支座处截面的剪力影响线 对于支座处截面的剪力影响线，需按支座左、右两侧截面分别 考虑。 绘制支座a左、右两侧的剪力影响线。 支座a左侧位于伸臂部分，故剪力fsk左的影响线，可由上面剪 力fsk 的影响线使截面k趋于截面a左而得到。 支座a右侧位于支座之间的跨中部分，故剪力 fsa右的影响线， 可由前面剪力fsc 的影响线使截面c 趋于截面a右而得到。 x ba cab =1 dek d f 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技
17、大学 返 回 退 出 3:35 可见：用静力法绘制求某一量值的影响线，所用方法与在固定 荷载作用下静力计算方法是完全相同的，都是取隔离体，建立平衡 条件来求解。不同之处仅在于作影响线时，作用的荷载是一个移动 的单位荷载，因而所求得的量值是荷载位置x的函数，即影响线方程。 注意：当荷载作用在结构的不同部分上所求量值的影响线方程不 相同时，应将它们分段写出，并在作图时注意各方程的适用范围。 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 三、影响线与内力图的比较 影响线表示当单位荷载沿结构移动时，某指定截面处的某一量 值的变化情形； 内力图表示在固
18、定荷载作用下，某种量值在结构所有截面上的分 布情形。 由某一个内力图，不能看出当荷载在其他位置时这种内力将如何 分布。 由某一量值的影响能看出单位荷载处于结构的任何位置时，该量 值的变化规律，但其不能表示其他截面处的同一量值的变化情形。 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 mc的影响线上，纵坐标 yk 代表荷载f=1作用在点 k 时，在 截面c的弯矩 mc 的大小。 弯矩图上，纵坐mk 标代表固定荷载f 作用于c 点时，截面k 所产生的弯矩。 fx l ba c a b =1 k yk mc的的影响线 ab l m图 fab l m
19、k (a) l ba c b k f a (b) fx l ba c a b =1 k yk 的的影响线 ab l m图 fab l m (a) l ba c b k f a (b) k mc 11-2 用静力法作静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 荷载有时不是直接作用而是通过纵横梁系间接地作用于结构。 主梁只在各横梁处(结点 处)受到集中力作用。对主 梁来说，这种荷载称为间接 荷载或结点荷载。 首先，作出直接荷载作用下主梁某量值（mc）的影响线。对于间 接荷载来说，在各结点处的纵坐标都是正确的。 其次，考虑荷载f=1在任意两相邻结点（d、e）之间的纵
20、梁上移动 时的情况。 de ba c 主梁 纵梁 横梁(节点) f=1 11-3 间接荷载作用下的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 在间接荷载作用下, 主梁将在d、e处分别受到结点荷载 (d-x)/d 和 x/d 的作用。设直接荷载作用下影响线在d、e 处的纵坐标分别为yd和 ye，则根据影响线的定义和叠加原理可知，在上述两结点荷载作用下 mc 值应为 cde dxx myy dd 可见: mc在de 段内 的影响线为 一直线, 由 在d处，x=0 , mc=yd 在e处，x=d , mc=ye 可知，用直线连接纵坐标yd和ye的顶点就是mc在de段这部分的
21、影 响线。 ab de f=1 x dd d-x d x c 11-3 间接荷载作用下的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 （2）然后取各结点处的纵坐标，并将其顶点在每一纵梁范围内 连以直线。即得到在间接荷载作用下该量值的影响线 。 例：求下图所示主次梁结构的主梁影响线 a =1f k b a 间接荷载作用下影响线的一般方法归纳如下： （1）首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线； 11-3 间接荷载作用下的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 a =1f k b a fyb 的影响线 mk 的影响线 fsk 的影响线 11-3
22、 间接荷载作用下的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 11-3 间接荷载作用下的影响线 作图示梁的md、fsb影响线。 xf =1 p a bd h c 1m2m g 2m1m1m2m1m 2/3 b a hc 1m2m g 2m1m1m2m1m 2/3 4/3 1/3 d 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 2/3 bhc g 2/3 1/3 d md影响线 1 1m2m2m1m1m2m1m 1/6 2/3 bahcg 1/61/3 1/6 2/3 bhcg 1/61/3 b左fsb影响线 11-3 间接荷载作用下的影响线 结构力学
23、 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 11-3 间接荷载作用下的影响线 xf =1 p a bd h c 1m2m g 2m1m1m2m1m 1m2m2m1m1m2m1m a 1m2m2m1m1m2m1m 1 b ah c g 1 1 b h c g b右fsb影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 机动法作影响线是以虚功原理为基础，把作内力或支座反力影 响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。 机动法有一个优点：不需经过计算就能很快绘出影响线的轮廓。 因此对于某些问题，用机动法处理特别方便。用静力法做出的影响线 也可用机动法来校核。 以简支梁支座
24、反力影响线为例，来说明机动法作影响线的原理 和步骤。 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 f x l ba c a b fyb =1 b p 一、求梁的支座b反力fyb的影响线 给体系以虚位移，列出虚功方程如下： 将与fyb相应的约束支杆b 撤去，代以未知量fyb ； 0 p ff byb b yb f p 不论b为何值，比值pb的变化规律恒为一定，令b=1 ，则 得 )(pxfyb p是与f 相应的位移（以与f正方向一致者为正）, b 是与fyb相应的位移（以与fyb正方向一致者为正）。 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线
25、 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 注意到p 是以与力f 方向一致（向下）为正，当p 向下时，fyb 为负；当p 向上时，fyb 为正。这就恰好与在影响线中正值的纵坐标 绘在基线的上方相一致。 )(pxfyb f x l ba c a b fyb =1 b p 使b =1 的虚位移曲线p 就代表了的fyb 影响线，只是符号相反。 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 (1) 撤去与z相应的约束代以未知力z 。 机动法作量值z 的影响线的步骤如下： (2) 使体系沿z 的正方向发生位移，作出荷载作用点的竖
26、向位移图 （p图），由此可定出z 的影响线的轮廓。 (3) 令z=1，可进一步定出影响线各竖距的数值。 (4) 横坐标以上的图形，影响线系数取正号；横坐标以下的图形， 影响线系数取正号。 f x l ba c a b fyb =1 b p 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 撤去与弯矩mc相应的约束 （即在截面c处改为铰结）， 代以一对等值反向的力偶mc （下侧受拉为正）。给体系以 虚位移，求得影响系数的数值， 令z =1 ，即得到mc影响线。 二、内力的影响线 1. 弯矩mc 的影响线 fx l ba c a b fya fy
27、b =1 b b c mc a a l ab b 的影响线 c m （+） + 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 2.剪力影响线 注意：由于截面c左右两 侧不能发生相对角位移，故 其虚位移图中两直线应为平 行直线，亦即fsc影响线的 左右两直线是互相平行的。 fx l ba c a b fya fyb =1 y f s f l b l a a b a b c c 1 sccs f c的影响线 z 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 例11-1 试用机动法作图示静
28、定多跨梁的mk、fsk、mc、fse和fyd 的影响线。 1m g 1m 2m 2m c f d 1m3m f kb e 1m a h 3m x = g e fzb . k a h e f d b mkc k h z g 的影响线 k m g 9 2 c f d 4 9 3 4 kb e a h 1 4 4 9 解:(1) 撤去与z相应 的约束代以未知力z，使 体系沿z 的正方向发生位 移，由此可定出z 的影响 线的轮廓。 (2) 令z =1，可定出 影响线各竖距的数值。 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 gbe k 1 cf
29、 a hd g e f h k k 3 3 4 4 1 4 3 2 3 4 4 1 k fs的影响线 g c f d 1 2 mc的影响线 1m g 1m 2m 2m c f d 1m3m f kb e 1m a h 3m x = 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 的影响线 r f d 1.5 d g 1 fh 1m g 1m 2m 2m c f d 1m3m f kb e 1m a h 3m x = 的影响线 s f e 1 g 1 e c f h 2 d 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科
30、技大学 返 回 退 出 3:35 可见：基本部分的内力（或支座反力）的影响线是布满全梁的， 附属部分内力（或支座反力）的影响线只在附属部分不为零（基本部分 上的线段恒等于零）。 用机动法作连续梁的影响线和用机动法作静定多跨梁的影响线的 原理一样，与量值对应的单位虚位移图即为该量值的影响线。 三、机动法作连续粱的影响线 机动法作影响线是一个普遍适用的方法，不论结构的形式如何，也 不论静定或超静定结构都可应用。 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 注意：对静定结构为刚体虚位移图，由直线段组成；对超静定结构为 变形体虚位移图，一般为曲
31、线图形。 f=1 bcdefk a fyd的影响线 mc的影响线 mk的影响线 fsk的影响线 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 用机动法作连续梁某一量值z 影响线的具体步骤可归纳如下： （1）去掉与所求量值z 相应的联系，代以所要求的量值z 的作用； （2）使体系沿z 的正方向发生单位虚位移，得到竖向虚位移图； （3）在虚位移图上，标明正负号和各控制点的纵坐标值，即得所 求量值的影响线。 定性分析时，一般不计算各控制点的纵坐标值。 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3
32、:35 多跨静定梁具有基本部分和附属部分 当基本部分受力时，附属部分不受力 当附属部分受力时，基本部分必受力 作影响线的步骤： 1）先作量值所在杆段影响线，它与相应单跨静定梁影响线相同 2）相对于量值所在杆段为基本部分的杆段，竖标为0 3）相对于量值所在杆段为附属部分的杆段，其影响线为斜直线 11-5 多跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 （ 1 m1 fya影响线 例：作fya 、 m1 、 m2 、 fs2 、 mb 、 fs3 、 fyc 、 fs4 、 fsc 左 、 fsc右 影响线 1 1 a bcd1 2 34 2m1m 1m1m1m1
33、m 1m2m1m1m fya m1影响线 11-5 多跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 m2影响线 m2 （ 1 1 a bcd1 2 34 2m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1m （ 1 mb fs2影响线 2 mb影响线 1 fs2 11-5 多跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 a bcd1 2 34 2m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1m fs3影响线 1 fs3 1 fcy影响线 fs4影响线 1 fcy 1 fs4 11-5 多跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学
34、返 回 退 出 3:35 a bcd1 2 34 2m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1m 1 fsc左影响线 fsc左左 fsc右影响线 fsc右右 1 在直角坐标系中,静定 结构的影响线是否一定是 由直线段构成? 除了梁可用机动法 作影响线,其它结构,如 桁架、刚架、三角拱等， 是否也可用机动法？ 11-5 多跨静定梁的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 (4) 对于斜杆，为计算方便，可先绘出其水平或竖向分力的影响线， 然后按比例关系求得其内力影响线。 (3) 桁架某杆件内力的影响线表示荷载沿承重弦移动时，该杆件内力 变化规律的曲线，其影响线方程，需通
35、过计算单位移动荷载作用下该杆 件的内力来获得。因此，静止荷载作用时桁架内力的计算方法结点 法和截面法(截面法又包括力矩法和投影法)，在此仍可应用。 (2) 作用在桁架上的荷载一般是通过纵梁和横梁而作用到桁架结点上 的，故上一节所讨论的关于间接荷载作用下影响线的性质，对桁架都是 适用的。 (1) 对于单跨静定梁式桁架，其支座反力的计算与相应单跨梁相同， 故二者的支座反力影响线也完全一样。 平面桁架的受力特点： 11-6 桁架的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 图示简支桁架，设荷载 f=1 沿下弦ag 移动，荷载 的传递方式与梁相同。 1. 支座反力fya和fy
36、g的影响线与简支梁的相同。 2. 作上弦杆轴力的fnbc影响线 作截面-，以c 为力矩中心。如单位荷载在的右方，取截面- 左边为隔离体，由mc =0, h efg ef g f cd c ab a b ya f l= d6 yg d f=1 yabc bcya f h d f hfdf 2 02 n n yabc bcya f h d f hfdf 2 02 n n 得得 11-6 桁架的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 如单位荷载在截面-以左，取截面以右部分为隔离体，由mc =0, ygbc bcyg f h d f hfdf 4 04 n n 利用支座反
37、力fya和fyg的影响线作fnbc的影响线。 将fya的影响线竖距乘以2d/h，画于基线以下，取c 以右一段； 将fyg的影响线的竖距乘以4d/h ，画于基线以下，取c 以左一段。 ygbc bcyg f h d f hfdf 4 04 n n 得 h efg ef g f yg cd c ab a b ya f l= d6 f=1 d 11-6 桁架的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 3. 下弦杆轴力fncd的影响线 作截面-，以结点c为力矩中心，用力矩方程 mc =0，得 h m f c cd 0 n fncd的影响线可由相应梁结点c 的弯矩影响线得到（
38、将m 0c 的竖距除以h）。 h efg ef g efg f cd d f=1 ab a b cdab ya f l= d6 yg c 11-6 桁架的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 用截面-，分三段考虑。单位荷载在c 点以左（右）时， 考虑截面-以右（左）部分的平衡，得 5. 竖杆轴力fncc的影响线 作截面-，利用投影方程fy =0。 单位荷载在b、c 之间，影响线为直线。 4. 斜杆bc轴力的竖向分力fybc的影响线 h efg e f g f yg cd c d f=1 ab a b ya f l= d6 ygybc ff左直线左直线 yaybc
39、 ff 右直线右直线 ygcc ff n 左直线左直线 yancc ff右直线右直线 11-6 桁架的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 6. 竖杆轴力fndd的影响线 假设单位荷载沿下弦移动，由上弦结点的平衡， fndd =0 fndd的影响线与基线重合，dd 永远是零杆。 如果假设单位荷载沿桁架的上弦移动，则由结点d 的平衡，可知： 当 f=1在结点d 时， fndd = -1 当f=1在其它结点时， fndd =0 由于结点之间是直线，因此的fndd影响线是一个三角形。 h efg ef g f yg cd c ab a b ya f l= d6 f=1
40、 d 11-6 桁架的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 注意：作平面桁架的影响线时，要注意区分桁架是下弦承载（简称 下承）还是上弦承载（简称上承）。 11-6 桁架的影响线 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 一、 求位置已定的荷载作用下的量值 f1 l ba c ab f2f3 y 1 y 2y 3 b l f c的影响线 a l s 先绘制出截面c 的剪力影响 线，由叠加原理求出截面c 的剪 力fsc 。 求图示简支梁截面c 的剪 力。 i i c yfyfyfyff 3 1 i332211s 1. 集中荷载作用 注意：yi 应
41、带正负符号。 f1 l ba c ab f2f3 y 1 y 2y3 b l f c的影响线 a l s 11-7 利用影响线求量值 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 推广到一般情况。设有一组位置固定的集中荷载f1 、f2 、 、 fn 作用于结构，结构的某一量值z 的影响线在各集中荷载作用点的纵 坐标依次为y1、y2 、 、 yn ，则该量值 z 为 i n i inn yfyfyfyfz 1 2211 11-7 利用影响线求量值 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 将分布荷载沿其长度分为许多无限小的微段dx。微段dx的荷载 qxdx可作
42、为一集中荷载，它引起的fsc的量值为(qxdx y)，在mn区段 内的分布荷载对量值 fsc的影响为 n m x x x n m xc ydxqydxqfs 2.分布荷载作用 l ba a l b l q y x ab c mn 1 2 f c的影响线s mn q a b c qxdx x mn a mn a a l b l f c的影响线s dx x 利用fsc影响线求该分 布荷载作用下fsc的数值。 11-7 利用影响线求量值 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 l ba a l b l q dx y x ab c mn f c的影响线s mn q a b c q
43、xdx x mn x l b l a a nm a2 1 sc f 的影响线 推广到一般情况，利用某量值 z 的影响线求均布荷载 q 作用下 的z 的影响量值的计算公式为： qaxyqf n m c d s zqa 若qx=q ，即对应均布荷载情况， 则上式变为 a 为该均布荷载对应的影响线的面积的代数值。 n m x x x n m xc ydxqydxqfs a表示影响线在荷载分布范围在 mn区段内的面积。 注意：计算面积 a 时，应考虑影响线的正、负号。图示情况 a = a2 a1。 11-7 利用影响线求量值 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 例11-2 试
44、利用影响线，求图示梁截面c 的弯矩mc和剪力fsc 。 da e 2m6m2m3m 2.25m 1.5m 0.75m 0.375 0.25 0.75 =10kn=20kn f c的影响线 s mc的影响线 0.375 f2f1 =10kn/m q c b 解 先绘出双伸臂梁截 面c的弯矩 mc和剪力fsc 的影响线，由上述公式求 弯矩mc和剪力fsc 。 mkn 25.11 )375. 0 2 1 65 . 1 2 1 (10010)25. 2(20 2211mmmc qayfyfm dabc e f1 q f2 2m6m2m3m 1.5m =10kn/m =10kn=20kn mc的影响线0
45、.75m 2.25m 11-7 利用影响线求量值 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 kn ssss 375.24 ) 3375. 0 2 1 675. 0 2 1 (10010375. 020 2211 qayfyff ccc da e 2m6m2m3m 2.25m 1.5m 0.75m 0.375 0.25 0.75 =10kn=20kn f c的影响线 s mc的影响线 0.375 f2f1 =10kn/m q cb dabc e f1 q f2 2m6m2m3m 0.375 0.25 0.75 =10kn/m =10kn=20kn f c 的影响线 s 0.3
46、75 11-7 利用影响线求量值 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 11-8 铁路和公路的标准荷载制 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 在移动荷载和可动荷载作用下，结构上各种量值均将随着荷载 位置的不同而变化，必须先确定最不利荷载位置。 二、求最不利荷载的位置 最不利荷载位置：使某一量值发生最大(或最小)值的荷载位置 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 qq q q z的影响线 zmax zmin (1) 当将均布荷载布满对应于影响线所有正号面积的范围时，则 产生最大正值 zmax ；
47、(2) 当将均布荷载布满对应于影响线所有负号面积的范围时，则 产生最小值zmin 。 1. 可动均布荷载 可动均布荷载是可以任意 断续布置的均布荷载，其最不 利荷载位置： 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 z的影响线 f f zmax zmin 2. 移动集中荷载作用 (1) 单个集中荷载 由z=fy可知，其最不利荷载位置是这个集中荷载作用在影响线的最 大纵坐标处(求最大值zmax)，或作用在影响线的最小纵坐标处(求最大 负值zmix) 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 2. 从荷载的临
48、界位置中确定最不利荷载位置。也就是从 z 的若 干个极大值中选出最大值从若干个极小值中选出最小值。 (2) 一组集中荷载 当荷载是一组间距不变的移动集中荷载(也包括均布荷)，根据最不利 荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置时，所求量值 z 为最大。 分两步进行： 1. 求出使 z 达到极值的荷载位置，此位置称为荷载的临界位置； 以折线形影响线为例，说明荷载临界位置的特点及其判定原则。 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 若每一直线段内各荷载的合力若每一直线段内各荷载的合力fr1, fr2, , frn 对对 应的影响线纵坐标分别为应的影响线
49、纵坐标分别为 , , , , 由叠加原理由叠加原理 可得可得 1 y 2 y n y 设z 的影响线 各段直线的倾角为 1, 2, , n 。取 基线坐标轴x 向右 为正，纵坐标y向上 为正，影响线的倾 角以逆时针方向为 正。 n i iinn yfyfyfyfz 1 rr22r11r1 z的影响线 y x x y1 x y2 x n y n y y2y1 n 1 2 fr3fr2fr1 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 z 的增量为 z的影响线 y x x y1 x y2 x n y n y y2y1 n 1 2 fr3fr2fr1 n
50、i iiinnn yyfyyfyyfyyfz 1 rr222r111r2 )()()()( 当整个荷载组 向右移动一微小 距离x 时，相 应的量值z 变为 n i ii n i ii n i ii nn fxxfyf yfyfyfzzz 1 r 1 r 1 r r22r11r12 tantan 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 使z成为极大值的临界位置必须满足荷载自临界位置向右或向左 时，z 值均应减少或等于零，即 注意：荷载左移时x0 ，z 为极大时应有： 使z 成为极小值的荷载临界位置的条件： 若只考虑fritani0 的情形,可得z为
51、极大(或极小) 值条件：荷载稍向 左、右移动时,fritani 必须变号。 当荷载稍向左移时， 0tan0 rii f, x 0tan0 rii f, x 0tan0 rii f, x 当荷载稍向左移时， 0tan0 rii f, x 0tan 1 r n i ii fxz 当荷载稍向右移时， 当荷载稍向右移时， 0z 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 tani 是常数，欲使荷载向左、右移动微小距离时fritani 变 号，只有当某一个集中荷载恰好作用在影响线的某一个顶点处才有可 能。不一定每个集中荷载位于顶点时都能使fritani 变号。
52、 能使fritani 变号的集中荷载称为临界荷载，记为fcr ，此时的荷载 位置称为临界荷载位置。 z的影响线 y x x y1 x y2 x n y n y y2y1 n 1 2 fr3fr2fr1 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 (2) 当fcr在该点稍左或稍右时，分别求fritani的数值。如果 fritani变号（或者由零变为非零），则此荷载位置称为临界位置， 而荷载fcr称为临界荷载。如果fritani不变号，则此荷载位置不是 临界位置。 确定荷载最不利位置的步骤如下： (1) 从荷载中选定一个集中力 fcr ，使它位于影响线的
53、一个顶点上。 (3)对每个临界位置可求出z 的一个极值，然后从各种极值中选出最 大值或最小值。同时，也就确定了荷载的最不利位置。 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 当影响线为三角形时，临界位置的判别可进一步简化。左直线的倾 角为1 =，且tan=h/ a ；右直线的倾角为2 =，且tan=h / b 。 ba h fcr ffrr rl 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 临界荷载 fcr 处于三角形的顶点, fcr以左的荷载合力用frl表示， fcr 以右的荷载合力用frr表示。 根据荷
54、载稍向左、右移动时， fritani 必须变号，可写出三角影响线临界荷载条件: 代入代入 , 得得 a h tan b h tan 不等式左、右两侧的表达式可视为a、 b两段梁上的“平均荷载” 。 0tan)(tan 0tantan)( crrrrl rrcrrl fff fff b ff a f b f a ff crrrrl rrcrrl ba h fcr ffrr rl 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 必须有一个力作用在影响线的顶点处,把这个力归到顶点的哪 一边，哪一边的“平均荷载”就大一些。具有这样特性的力就称为 临界力fcr 。
55、在一组集中力系中, 哪一个力是临界力则需要试算才 能确定。 三角形影响线荷载临界位置的特点是： 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 当f1位于影响线顶点时，有 f 10m6m k 1.25 3.75 1.88 0.38 1 f2f3f4 f1f2f3f4 f3f4 4m5m4m 例11-3 试求图示简支梁在移动荷载作用下截面k的最大弯矩。已知： f1=3kn, f2=7kn, f3=2kn, f4=4.5kn 。 可见, f1不满足条件, 故不 是临界荷载。 10 )27( 6 3 10 )273( 6 0 解：绘出截面k 的弯矩mk 的影响
56、线，再判别临界荷载位置。 f 10m6m 4m5m4m 3.75 1 f2f3f4 f1f2f3f4 f3f4 k 0.38 1.25 1.88 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 当位f2于影响线顶点时，有 f2是临界荷载。 同理可得，f3不是临界荷载，f4是临界荷载。 10 )25 . 4( 6 )73( 10 )275 . 4( 6 3 f 10m6m 4m5m4m 3.75 1 f2f3f4 f1f2f3f4 f3f4 k 0.38 1.25 1.88 f 10m6m k 1.25 3.75 1.88 0.38 1 f2f3f4 f1
57、f2f3f4 f3f4 4m5m4m 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 分别计算与临界荷 载f2 、f4 对应的mk 值， 则 截面k的最大弯矩为 mkn 32 2 473538. 088. 175. 325. 1 41 .ffffm k mkn38.1975. 325. 1 43 4 ffmk mkn47.35 maxk m f 10m6m 4m5m4m 3.75 1 f2f3f4 f1f2f3f4 f3f4 k 0.38 1.25 1.88 f 10m6m k 1.25 3.75 1.88 0.38 1 f2f3f4 f1f2f3f4
58、f3f4 4m5m4m 11-9 最不利荷载位置 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 11-10 换算荷载 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 所有截面最大弯矩中的最大者称为简支梁的绝对最大弯矩。 当梁上作用的移动荷载由集中荷载构成时，问题可以简化。 三、简支梁的绝对最大弯矩 需要注意:在确定绝对最大弯矩时，绝对最大弯矩发生在哪一截面 是未知的(x1), 哪一个荷载位于该截面处也是未知的(x2), 这里有两个 未知数。 11-11 简支梁的绝对最大弯矩 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 简支梁在集中荷载组作用下，可
59、以断定绝对最大弯矩必定是发生 在某一集中荷载作用点处的截面上。这样两个未知数x1、x2 就重合为 一个未知数x了。 a b fya fyb l 2 l 2 a 2 f ax f1f2f n-1 fn a 2 r f k 11-11 简支梁的绝对最大弯矩 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 l xal ffya r fk 作用点的弯矩为 ll )( kkyak mx l xal rmxfxm mkl 表示fk 以左的梁上荷载对fk作用点的力矩之和，它是一个与x 无关的常数。mk(x)为极大的 条件为 0)2( d d r axl l f x m k 得 22 la x
60、任选某一集中荷任选某一集中荷 载载fk，由，由 0 b m 得得 a b fya fyb l 2 l 2 a 2 f ax f1f2fn-1fn a 2 r fk 11-11 简支梁的绝对最大弯矩 结构力学 西南科技大学西南科技大学 返 回 退 出 3:35 注意: 当将集中荷载fk和合力fr 对称作用于梁中点的两侧时，如果 有力移入或移出梁作用范围，则合力fr 及它和集中荷载fk之间的距离 a 要重新计算。 表明，当fk作用点的截面 弯矩达到最大时，fk与合力fr 正好对称作用于梁中点的两侧。 此时最大弯矩为 按上式依次计算其他各荷载作用点处截面的最大弯矩，再在这 些最大弯矩中通过比较选出最
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