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1、会计学1 山东建筑大学结构力学研究生专业课考山东建筑大学结构力学研究生专业课考 试复习位移计算试复习位移计算 5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移 一、结构位移计算概述一、结构位移计算概述 计算位移的目的：（计算位移的目的：（1）刚度验算，（）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础）超静定结构分析的基础 产生位移的原因：（产生位移的原因：（1）荷载）荷载 c c 1 t 12 tt （2）温度变化、材料胀缩）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差）支座沉降、制造误差 AV BV 以上是绝对位移以上是绝对位移 以上是相对位移以上是相对位移 广义位移广义位移 位移计算
2、虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便 第1页/共32页 推导位移计算公式的基本思路：推导位移计算公式的基本思路： 1、静定结构由于支座移动引起的位移计算；、静定结构由于支座移动引起的位移计算； 2、静定结构由于局部变形引起的位移计算、静定结构由于局部变形引起的位移计算 ； 3、静定结构由于整体变形引起的位移计算、静定结构由于整体变形引起的位移计算 。 第2页/共32页 二、虚功二、虚功 1、实功与虚功、实功与虚功 实功实功是力在自身引起的位移上所作的功。如是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22， 虚功虚功是力在另外独立状态的位移上作的
3、功。 是力在另外独立状态的位移上作的功。(前述各例前述各例) 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。 P1 P2 11 22 12 荷载由零增大到荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系，对线弹性体系P与与成正比。成正比。 P 11 P1 元功：元功： 再加再加P2，P2在自身引起的位移在自身引起的位移22上作的功为：上作的功为： 在在12过程中，过程中，P1的值不变，的值不变， 12与与P1无关无关 dT OA B Kj 位移发生的位置位移发生的位置 产生位移的原因产生位移的原因 dPdT
4、11111 2 1 PdTT 22222 2 1 PT 12112 PT 第3页/共32页 2、广义力与广义位移、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移。与位移 有关的因素，称为广义位移有关的因素，称为广义位移。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=S 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分 量量 m 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所
5、作用的截面的转角）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。 3）若广义力是等值、反向的一对力）若广义力是等值、反向的一对力P P P t t AB B A 这里这里是与广义力相应的广义位移。是与广义力相应的广义位移。 表示表示AB两点间距的改变，即两点间距的改变，即AB两点的相对位移。两点的相对位移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶）若广义力是一对等值、反向的力偶 m AB m m A B 这里这里是与广义力相应的广义位移。是与广义力相应的广义位移。 表示表示AB两截面的相对转角。两截面的相对转角。 BA PPT)( BA P P BA mmT)( BA m m P 第4页/共
6、32页 ab A BC 1 c ? P=1 A B C ab 1 R 三、虚力原理三、虚力原理 已知已知 1 c 求求 虚功方程虚功方程 设虚力状态设虚力状态 a b R0bPaR 11 0cR1 11 1 c a b 小结：小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程；）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。应的支座反力。构造一个平衡力系构造一个平衡力系； （3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。）特点是用静力平衡条件解决几何问题。 单位荷载法单位荷载法设单位荷
7、载，其虚功正好等于拟求位移。设单位荷载，其虚功正好等于拟求位移。 虚设力系求刚体体系位移虚设力系求刚体体系位移 第5页/共32页 四、支座位移时静定结构的位移计算四、支座位移时静定结构的位移计算 （1）C点的竖向位移点的竖向位移 c （2）杆）杆CD的转角的转角 l 3 l 2 3 l A B C D A B C D 1 3 1 3 2 A B CD 1 l 2 1 l 2 l 2 3 已知位移已知位移 A c 求求 : c A c 0 3 1 11 Dc c Ac c 3 1 0 2 1 12 A c l A c l 2 1 所得正号表明位移所得正号表明位移 方向与假设的单位方向与假设的单位
8、 力方向一致。力方向一致。 求解步求解步 骤骤 （1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力 ； （3）解方程得）解方程得 kk cR 定出方向。定出方向。 （2）建立虚功方程）建立虚功方程01 kk cR k R 第6页/共32页 静定结构由于支座移动而产生的位移计算静定结构由于支座移动而产生的位移计算 静定结构由于支座移动不会产生内力和应变，但产生位移静定结构由于支座移动不会产生内力和应变，但产生位移 KKic cR a b l/2l/2 h 1 1 0 A Y 1 B h X 0 B Y 1 A h X 弧度 h a cR 计算中心铰两侧截 面的相对转角位
9、移 第7页/共32页 a b l/2l/2 h 1 B 2 Y 1 A 2 Y 1 () 42 l Rcab h 计算中心铰的 竖向位移 1 l B 4h X l A 4h X 第8页/共32页 d B A aa m aa B A d m 1 aa A B M i i aMsin1 虚功方程：虚功方程： 01dM m dM m 例例1、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角处由于某种原因产生相对转角d ，试，试 求求A点在点在ii方向的位移方向的位移 。 m 一、局部变形时位移计算举例一、局部变形时位移计算举例5-2 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 第9页
10、/共32页 B A i i B A Q d Q 1 A Q sin1Q 01dQ Q dQ Q 例例2、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移处由于某种原因产生相对剪位移 d ，试求试求A点在点在ii方向的位移方向的位移 。Q 第10页/共32页 例例3、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移处由于某种原因产生轴向位移d 试试 求求A点在点在方向的位移方向的位移 。 N B A B A i i N N B A 1 NN 由平衡条件：由平衡条件： cos1N 虚功方程：虚功方程： 01dN N dN N 当截面当截面B同时产生三种相对位移时，在同时产生三种相对位
11、移时，在ii方向所产生的位移方向所产生的位移 ，即是三者的叠加，有：，即是三者的叠加，有： dNdQdM NQM d 第11页/共32页 二、局部变形时的位移计算公式二、局部变形时的位移计算公式 基本思路：基本思路： ds d d d R i i d ds d ds d d R ds R 1 （1）三种变形：）三种变形： 在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形设为变形体，分析局部变形 所引起的位移。所引起的位移。 第12页/共32页 ds R ds d dsddsd ds d d d R i i d ds d ds d d R ds 1 Q,N,M （2）微段两端相对
12、位移：）微段两端相对位移： 续基本思路：设续基本思路：设 ,0ds 微段的变形以截面微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。，于是可以利用刚体虚功原理求位移。 （3）应用刚体虚功原理求位移）应用刚体虚功原理求位移d 即前例的结论。即前例的结论。 dQdNdMd QNM 或或 ds)QNM(d 第13页/共32页 三、结构位移计算的一般公式三、结构位移计算的一般公式 i i ds)QNM(d 一根杆件各个微段变形引起的位移总和：一根杆件各个微段变形引起的位移总和： ds)QNM(d 如果结构由多个杆件组成
13、，则整个结构变形引起某点的位移为：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为： ds)QNM( 若结构的支座还有位移，则总的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为： kkc Rds)QNM( 第14页/共32页 kkc Rds)QNM( 适用范围与特点：适用范围与特点： 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。包括超静定。
14、）结构类型：各种杆件结构。包括超静定。 （4）材料种类：弹性、非线弹性材料。）材料种类：弹性、非线弹性材料。 1） 适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。 第15页/共32页 位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。 kkc Rds)QNM( 1 c 2 c ds ds 1 t 2 t K K 1 1 R 2 R ds d ds d d ds ds ds M ds N ds Q 外虚功：外虚功： kke cR1W 内虚功：内虚功： dsQNMWi 变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和变形体虚功原理：各微段内力在应变上所
15、作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。即：即： dsQNMcR k k 1 第16页/共32页 四、位移计算的一般步骤四、位移计算的一般步骤: 1 c 2 c 1 t 2 t K K 1 1 R 2 R 实际变形状态虚力状态 kkc Rds)QNM( (1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力求虚力状态下的内力及反力 k R.Q.N.M表达式表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。用位移公式计算
16、所求位移，注意正负号问题。 k R.Q.N.M 第17页/共32页 第18页/共32页 5-3 5-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 研究对象：静定结构、线性弹性材料。研究对象：静定结构、线性弹性材料。 ds)QNM( 重点在于解决荷载作用下应变重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。的表达式。 、 一、计算步骤一、计算步骤 （1）在荷载作用下建立）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载的方程，可经由荷载内力内力应力应力应变应变 过程推导应变表达式。过程推导应变表达式。 PPP Q.N.M （2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知 G
17、A Q k EA N EI M PPP k-为截面形状系数为截面形状系数 1.2 9 10 1 A A (3) 荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式 ds GA QQk ds EA NN ds EI MM PPP kkc Rds)QNM( 两项内力两项内力 同号、同方向取正同号、同方向取正 第19页/共32页 二、各类结构位移计算的简化公式二、各类结构位移计算的简化公式 （1 1）梁与刚架）梁与刚架 ds EI MM P （2 2）桁架）桁架 EA lNN ds EA NN ds EA NN PPP （3 3）拱、组合结构）拱、组合结构 ds EA NN ds EI MM PP 第
18、20页/共32页 q 2l2l AC B AV (a) 实际状态实际状态 x P= 1 AC B 2l2l (b) 虚设状态虚设状态 AC段段 2 l x0 0NP 0M P 0QP 0N xM 1Q CB段段 lx 2 l 0NP 2 P 2 l x 2 q M 2 l xqQP 0N xM 1Q x 例例1. 试计算悬臂梁试计算悬臂梁A点的竖向位移点的竖向位移CEI, AV 。 2）列出两种状态的内力方程：）列出两种状态的内力方程： 1）设单位载荷状态）设单位载荷状态 第21页/共32页 AC段段 2 l x0 0NP 0M P 0QP 0N xM 1Q CB段段 lx 2 l 0NP 2
19、 P 2 l x 2 q M 2 l xqQP 0N xM 1Q 2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算将上面各式代入位移公式分段积分计算 AV AC段段 2 l x0 在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。 CB段段 lx 2 l ll PP 2 l 2 l dx GA QQk dx EI MM l 2 l P M 2 l 2 l EI dx 2 l x 2 q xdx EI MM EI384 ql7 192 l7 EI2 q 44 第22页/共32页 CB段段 lx 2 l 0NP 2 P 2 l x 2 q M 2 l xqQP 0N xM 1
20、Q l 2 l P M 2 l 2 l EI dx 2 l x 2 q xdx EI MM EI384 ql7 192 l7 EI2 q 44 l 2 l P Q 2 l 2 l GA20 ql3 GA dx 2 l xq12 . 1dx GA QQk GA20 ql3 EI384 ql7 24 QM 设为矩形截面设为矩形截面 k=1.2 第23页/共32页 3）讨论）讨论比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。 GA ql EI ql QM 20 3 384 7 24 24 2 23. 8 384 7 20 3 GAl EI EI ql GA ql M Q 设
21、材料的泊松比设材料的泊松比 , 由材料力学公式由材料力学公式 。 3 1 3 8 12 G E 设矩形截面的宽度为设矩形截面的宽度为b、高度为、高度为h，则有，则有, 12 bh I ,bhA 3 代入上式代入上式 22 2 83. 1 12 1 3 8 23. 823. 8 l h l h GAl EI M Q %32. 7, 5 1 %;83. 1, 10 1 M Q M Q l h l h 时当时当 第24页/共32页 2 P 2 P P m/Nq P 4 ql P 1 1 1 1.5 1.5 -4.74 -4.42 -0.95 4.5 1.5 3.0 P N 1 0.50.5 -1.5
22、8 -1.58 0 0 1.51.5 N 2P2P 例例2 计算屋架顶点的竖向位移。计算屋架顶点的竖向位移。 0.25l0.25l0.25l0.25l A D C E F G B 设单位载荷状态设单位载荷状态 第25页/共32页 1 1 1 1.5 1.5 -4.74 -4.42 -0.95 4.5 1.5 3.0 P N 1 0.50.5 -1.58 -1.58 0 0 1.51.5 N EA lNN P C AD DC DE 材料 杆件 P NNlA EA lNN P EA lNN P 钢筋砼 钢 CE AE EG ccA E Pl97. 1 ccA E Pl81. 3 ssA E Pl6
23、3. 0 ssA E Pl13. 1 sscc C EAEA Pl 13. 181. 3 2 A B C D E F G P74. 458. 1l263. 0 P42. 458. 1 l263. 0 c A c A ccA E Pl84. 1 P95. 00 l088. 0 c A75. 0 0 P50. 1 0 l278. 0 s A 0 P50. 450. 1 l278. 0 s A3 P00. 350. 1 l222. 0 s A2 ssA E Pl50. 0 第26页/共32页 求DV PPP 4m3=12m 3m A B D C 5P 8P P=1 5/3 4/3 0 00 0 0 0 0 0 0 0 EA P PPP EA DV 3 280 4 3 4 85 3 5 5313 1 13P 设单位载荷状态设单位载荷状态 第27页/共32页 P P=1 例例3：求图示曲杆（：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移圆弧）顶点的竖向位移。 解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载 虚拟荷载虚拟荷载 3）位移公式为）位移公式为 ds=Rd d ds 钢筋混凝土结构钢筋混凝土结构G0.4E 矩形截面矩形截面,k=1.2,I/A=h
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