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1、第十三章压杆稳定1基本概念及知识要点1.1 基本概念理想受压直杆、理想受压直杆稳定性、屈曲、 临界压力。1.2 临界压力细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。1.3 稳定计算为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：nFcrrnst稳定条件2重点与难点及解析方法2.1 临界压力临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之 前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。2.2 稳定计算压杆的稳定计算是材料力学中
2、的重要内容，是本课程学习的重点。利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。2.3 算要求掌握安全系数法。角军析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据 柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。3典型问题解析3.1临界压力例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图131所示，面积均为 3.2x 103mm,若已知材0.7d截面尺寸分别为(1)、b=40mm、(2)、a=56.5mm、(3)、d=63.8mm、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。 料白E=200GPa，(rs=235M
3、Pa d cr =304-1.12 X ,入 p=100,入 s=61.4 ,试计算各杆的临界荷载。7 / 26图 131解压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。(1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mM寸h2“311.55mm10.5 311.55 10 3129.9入入P此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力A2E八ccr A A 375kNcl21(2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm时a2.316.3mm所以92入s入入p此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力b cr2 =304-1.12 入 2=304-1.1
4、2 X92=200.9MPaFcr2cr A 200.9 1 06 3.2 1 0 3 6 44kNcici(3)、两端固定的实心圆形截面压杆,当 d=63.8mm 时1 ，i -d 15.95mm4入s入入P此压杆为中柔度杆,用经验公式计算其临界应力Fcr3cr A (304cici1.12 94) 106 2.3 1 0 3 6 35kN(4)、两端固定的空心圆形截面压杆，当D=89.3mm, d=62.5mm时I 1 . D2 d227.2mm.A 44 55.1i入入s此压杆为短粗杆，压杆首先发生强度破坏，其临界应力巳4s A 235 106 2.3 10 3 752kN解题指导：1
5、.计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压 杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。当入入P时 压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力；入s入入P时 压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力;入入s时 压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。2 .由此例题可见，惯性半径越大 ，柔度越小，承载能力越强。例题13.2矩形截面杆如图13-2所示，杆两端用销钉连接，在正视图中，连接处允许压杆绕销钉在铅垂面转动，两端约束可简化为两端钱支。在俯视图中，连接处不允许压杆在水平面内发生转动，两端约束视为两端固定。已知杆长L=2.3m 截面尺寸b=40
6、mm h=60mm 材料的E=205GPa入p=132 Xs=61,试求此杆的临界压力 F-b-图 13-2解1 .若在正视图内失稳（铅垂方向）h2、3132.62 .若在俯视图内失稳（水平面内）y z 所以，压杆在正视图失稳。3 .计算压杆的临界压力Fcrz 132.61b2.399.5 i y用欧拉公式计算其临界应力2EI产276.2kN解题指导：对于这类问题，需首先计算两个方向的柔度，判断压杆首先沿哪个方向失稳。例题13.3图13-3所示立柱长L=6m,由两根10号槽钢组成，试问a多大时立柱的临界荷载 片最大,并求其值。已知：材料E=200GPa d P=200MPa解Fpyo ty图
7、13-31 .惯性矩查型钢表可知,由两根10号槽钢组成的组合截面对形心主惯性轴的惯性矩分别为用欧拉公式计算临界压力9 / 26a值较小时,a值较大时,I y< I zIz <IyI Z 2I Z0Iy 2Iy0 (z0 2)2A入y入Z,压杆失稳时，以y轴为中性轴弯曲;入z入y,压杆失稳时，以Z轴为中性轴弯曲;2.当立柱的临界荷载最高，压杆对z轴和y轴应有相等的稳定性。即:IY2Izo 2 IYoZo37.2(Z03.最大临界荷载Fcra 2(37.515,2) 44mm压杆的柔度iy=iz =i0.7 6106.339,5 10 3由于-E 99.3P所以，入入p压杆为大柔度杆F
8、cr2EI(l)2444kN17 / 26例题13.4所示工字钢直杆在温度ti = 20c时安装，此时杆不受力，已知杆长l = 6m,材料的入p=132 , =200GPa,线膨胀系数 ” =12.5 X61/To试问当温度升高到多少度时杆将失稳。Fa图 13-4解随着温度的升Wj,直杆在杆端受到压力FA=Fb,当两端压力达到压杆的临界压力即：Fa= F B= Fcr压杆将失稳。1.杆的工作压力由静不定结构的变形协调条件时,2.压杆的临界压力IfltFa1 eatlFatEA0.5 6002.12141.5入入P压杆为大柔度杆。用欧拉公式计算临界压力Fcr3 .压杆失稳时，需要升高的温度值Fa
9、= F B= FcrAi =TT * £ 7L 2TL好0 12.5x10m 1415=39.433.2稳定计算例题135:钢杆AB如图135所示，已知的杆的长度 lAB=80cm,P= 100 s= 57 ,经验公式cr 304-1.12 , nst=2,试校核 AB 杆。解1 .杆AB的工作压力：分析梁CBD的受力，据其平衡方程可得FAB=159kN2 .杆AB的临界压力: 压杆的柔度1 80 on=80s 用经验公式计算压杆的临界应力:cr 3041.1280 214.4MPa压杆的临界压力Fcr= (T crA=270kN3 .计算压杆的工作安全系数，进行稳定校核由压杆的稳定
10、条件P 270n 上1.69 nstP 159所以，AB杆不安全。解题指导：请读者思考：若校核整个结构，如何求解？若由AB杆确定整个结构的许用外载荷，如何求解?例题13.6:材料相同的钢杆 AB、AC,直径均为d=80cm, P=98 s= 57,经验公式 cr 304 1.12 ,nst=5, E=210GPa,试求许用外载荷Fp。FFPAC304m图 13 6解1 .确定杆AB、AC的工作压力：由节点A的受力及平衡方程可得Fab=0.5 FpFac=0.866 Fp2 .计算由AB杆稳定条件确定的许用外载荷:AB杆的柔度l ABAB=i4 cos3000.08= 173AB P用欧拉公式计
11、算压杆的临界应力:FcrAB2EIIab 2348kN由压杆稳定条件FcrAB3480.5FP则许用外载荷Fp< 139.2kN3 .计算由AC杆稳定条件确定的许用外载荷AB杆的柔度l ACAC；-i4sin 300 0?08=100AB P用欧拉公式计算压杆的临界应力:FcrAC2EIIac 21041.8kN由压杆稳定条件FcrAC-8 5FAC 0.866 FPFp< 240.6kN则许用外载荷4 .确定整个结构的许用载荷由稳定计算结果可知，结构的许用载荷为FP=139.2kN解题指导：对于这类题目，所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。由于杆AR AC所受压力和柔
12、度均不相同，需要首先分别求出由两杆确定的各自许用外荷载，然后取 其中较小的一个，做为整个结构的许用外载荷。13 7所示。已知挪钉例题13.7:两端为球钱的压杆，由两根等边角钢挪接而成，型钢的外形尺如图孔直径为 23mm,压杆 长度l=2.4m ,所受外力Fp= 800kN , nst=1.48 ,P=98s= 60,经验公式cr 304-1.12，材料的许用应力b =160MPa,试校核压杆是否安全。z轴）转动图 13-7解图13 - 7所示压杆有两种可能的失效形式：失稳：整个压杆由直线形式的平衡变为曲线形式的平衡，局部截面尺寸变化对弯曲变形影响很小，个 别截面上挪钉开孔对整个压杆的稳定性影响
13、可忽略不计。因此，在压杆稳定计算中，采用未开挪钉孔时的 压杆横截面尺寸（相应的面积称为“毛面积” ，用A表示）；强度失效，在挪钉开孔截面，截面尺寸的削弱，会导致截面上的正应力增大，超过材料的许用应力。因此需要校核挪钉开孔处横截面上的正应力强度。在计算中要用开孔后的截面尺寸（其面积称为“净面积”，用A0表不'）。综上所述，需要首先分别校核压杆的整体稳定和挪钉开孔处正应力强度，才能判断出压杆是否安全。1 .稳定校核压杆失稳时，二等边角钢将作为一整体发生屈曲，并绕组合截面惯性矩最小的形心主轴（其中Iz1、iz1和A1分别为单根角钢对 z轴的惯性矩、惯性半径和横截面面积，可由型钢表中查得。图
14、21 8l 1 2.4_=一一=62.66 i min izs 所以，用经验公式计算压杆的临界应力:cr ab =3041,12 62.66 233.8MPa代入稳定条件，进行稳定校核crAFp233.8 106 2 28.9 10 4800 1031.69 nst所以压杆稳定。2.强度校核：组合截面在挪钉孔处因开孔而削弱，削弱后的净面积为：A 0=2 X 28,9 X 10-4 2 X 0.023 X 0.012=5.28 X 10-3m2该截面上的正应力FpA0800 1035.28 10 3153MPa压杆强度安全3 .由上述稳定计算和强度计算可知，压杆安全。解题指导：4 .压杆稳定计算
15、用毛面积，强度计算用净面积。5 .请读者思考：如果两根槽钢只在两端连接，这时上述稳定计算和强度计算会不会发生变化1.8。试例题13,8图13-8所示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，连接处均为钱链，各杆直径均为 d= 40 mm, a= 1 m。材料的入 p=110,入 s=60, E= 200 GPa,经验公式为 cr 304-1.12 , nst = 求结构的许可载荷。4解1 .计算各杆的受力值分别以节点A、B为研究对象，应用平面汇交力系平衡方程，同时考虑结构的对称性，可计算和确定 出各杆的受力分别为FAB FAD FBCFCDFP- FP2（压）Fdb = Fp （拉）由上述计算结果
16、可知，杆 AB、AD、BC、CD为压杆，应考虑的失效形式为失稳，需要进行稳定计算; 杆BD为拉杆，应考虑的失效形式为强度失效，需进行强度计算。2 .稳定计算对于AB等压杆s 用经验公式计算压杆的临界应力:FABcra b 入 A由稳定条件304 1.14 100兀 26402 10 6 0.2387MN4238.7kNFp,2FABcr%y nst2 238.7 187.6kN1.83 .强度计算对于拉杆BD , Fn = Fdb = Fp,由强度条件FnA可得Fp Fbd A 160 106 闻4冗 2160 40 13 2（26kN4 .结构的许可载荷由上述稳定计算和强度计算结果可知，结构
17、的许用载荷为' =187,6kN例题13.9材料相同的梁及柱如图 13-9(a)所示，竖杆为两根 63X 63X 5等边角钢(连结成一整体)，承(r=160MPa, E = 200 GPa,入 p=132, s= 60 ,经验公受均布载荷q = 24 kN/m ,材料的许用应力-2cr 235 0.0068,nst = 2.8 。试校核该结构。2 m63X63X5FrcF RC 1(a)Q二 一H N i I ； Illi口IHUti(b)FaAk-LZMdFbDxMe(c)图 13 91.由C点的变形协调条件，计算多余未知力原结构为一次静不定，取如图13-9 (b)所示静定基和相当系
18、统。由变形协调条件WC=1 CD其中23 / 26FrcI348EIz5ql 4 We384EI zF RC5ql4FrcI3384EI z 48EIz5ql3384FrcI2 IF RCl2EA48 2A-Frc5ql3l2 I384( 一 )48 2A5 24 103 4342 384(48859.8kN1130 10 8)2 12.286 10 42.梁的强度校核梁的受力如图13 9(c)所示，由平衡方程Fy2FaFn 4q得梁的支反力Fb2459.18 /218.1kN梁的弯矩图如图C截面弯矩13 9(c)所示。Me Fa12q2218.4124 411.8kNmD或E处剪力Fs=0,
19、由得D截面位置为FqFaqxx = 0.75 m所以，D或E截面梁弯矩值:Md18.1120.75 24 0,752 6.83kN m2所以，梁上最大弯矩值为|M |max |Mc| 11.8kN m2l梁的最大正应力为:max| M |maxW411.8 103141 10 683.69MPamax160MPa梁安全。3.柱的稳定计算柱的柔度1 2001.94103<132s 用经验公式计算压杆的临界应力:2cr 235 0.0068162.9MPa_ 6_ 4_FPcrcrA 162.9 1012.286 10200kN工作安全系数FPcr200n 一Frc59.83.34nst2.
20、8柱也安全。4.由上述梁的强度计算和柱的稳定计算结果可知，整个结构安全。例题13.10 一直径为d的圆截面平面曲拐 ABC （ABBC,位于xz平面），与直径为d°的圆截面杆 CD较接于C点，如图1310所示。今有一重为 W的物体，由高度为 H处自由落下冲击于曲拐 B点，已 知材料的力学性能分别为： bp= 200MPa , E = 200GPa, G = 80GPa,=0.3;结构尺寸：d = 50mm , d0 =10mm, l = 1m,载荷 W = 200N ,高度H = 20 mm ;强度安全系数 n = 2 ,稳定安全系数nw = 1.5。试校 核CD杆的安全。图 131
21、027 / 26解1 .计算多余未知力在此空间结构B点上作用静载荷W,该一次静不定结构在C点的变形协调条件为：平面曲拐在点的位移 C等于CD杆的压缩量，即lCD设杆CD承受压力为F ,则Wl3Fl3Fl l3EI3EIGIpFl33EI代入C lCD ,解出2Wl3EIEA2 .冲击动荷系数静载荷W作用于原空间结构lCD2l23EIF 2lEAl2GI-)P34.6N点时，用叠加法可求得冲击点相应的静位移为:(WF)l3jB代入自由落体时的动荷系数表达式，得：Kd3EI0.9mm11 2H 7.74jB3. CD杆承受的动荷Fd KdF 7.74 34.6268N4.校核CD杆由于CD杆为压杆
22、，应进行稳定计算CD杆的柔度p 故CD为大柔度杆,1 200010 4p800100用欧拉公式计算压杆的临界应力:2EIul 2242N33 / 26工作安全系数nwFcrFd2422680.9 1.5所以CD杆不安全的。a的1=132例题13.11:承压立柱由两根 32a槽钢组成，若柱的总长为 l=8m,两端球较约束，中间由间距为 缀条用挪钉连接，如图1311所示。挪钉直径d=17mm,材料的s=235MPa, ns=1.47 nst=1.58 入2=60经验公式d cr=235-6.8 X 10-3入2 ,试求：1为使立柱承受最大载荷，b的合理取值；2求立柱承载最大时的许用载荷；3在许用载
23、荷作用下 a的取值。解1.为使立柱承受最大载荷，立柱在 V、Z方向应具有相同的稳定性，则入y=Xz,即：Iy = Iz2一一一一 b一2I z1 2 I y1 Z1A12查型钢表计算得：b=289.6mm2.最大许用载荷：1）由稳定条件查型钢表计算可知i=124.9mm一b I1 8 10.64.1124.9Ps的临界应力：cr由稳定条件用经验公式计算压杆235 6.8 10 3 64.12207MPaFcr得立柱的许用载荷图 1311一 AF r-1276kNnst2）考虑挪钉处的截面削弱，由强度条件:FA0=160MPa %得立柱的许用载荷F< 1548kN由上述稳定计算和强度计算可
24、知，压杆的最大许用载荷为F= 1276kN3.确定a的取值：为保证整体和局部具有同样的稳定性，同时失稳，要求整体=局部由上式可得a=1603mm整个组合压杆的柔度为4自我测试1正三角形截面压杆，如图 13-12所示，其两端为球较链约束，加载方向通过压杆轴线。当载荷超过临界值，压杆发生屈曲时，横截面将绕哪一根轴转动？现有四种 答案，请判断哪一种是正确的。(A) 绕y轴；(B)绕通过形心C的任意轴；(C) 绕z轴；(D) 绕y轴或z轴。正确答案是图 13 122两端为球钱的细长压杆，有面积相同的四种截面可供选择，如图1313所示，由稳定性考虑:图 13-13(A)空心圆截面一定最好；(B)圆截面最
25、不好；(C)正方形截面一定比矩形、圆形好;(D)矩形截面一定比圆形截面好。正确答案是：3两个压杆材料和细长比均相同，则：(A)两杆的临界力与临界应力均相等；(B)两杆的临界应力不等，但临界力相等；(C)两杆的临界应力相等，但临界力不一定相等;(D)两杆的临界力与临界应力均不一定相等。正确答案是：4圆截面压杆（a）、（b）如图1314所示，材料相同，横截面积Aa2Ab,杆长la如图示。两杆的柔度以aab表示，临界载荷以（Pj）a和（Pj）b表示，则:1314(A) ab , ( Fcr ) a(Fcr)b；(B) a b , ( Fcr ) a ( Fcr ) b ；(C) ab , ( Fcr
26、 )a(Fcr)b；(D) a b , ( Fcr ) a(Fcr )b °正确答案是:5图1315所示压杆（a）、（b）均为细长杆，两杆的材料、杆长、截面形状和尺寸均相同,界载荷分别为Fcra和Fcrb ,则: cia cib图 13-15(A)Fcr aFcr b ；(B ) Fcr a-Fcrb；2(C)FcraFcrb；匚 1匚(D)Fcr a ; Fcr b °4正确答案是：6图13 16所示(a)、(b)、(c)三种截面，尺寸如图1316所示。研究抗失稳能力时，需计算各自的 惯性半径io若三种截面的惯性半径分别为ia, ib, ic,则：(A)icia j(B)
27、，bi ai c j(C)icibia;(D) iaibic。35 / 26有四种<Fcr (d)； >Fcr (d)； >Fcr (a); >Fcr ( d )。图 13-16正确答案是：7图1316中四杆均为圆截面直杆， 杆长相同，且均为轴向加载，关于四杆临界压力的大小, 解答，试判断哪一种是正确的(设其中弹簧的刚度较大)。(A) Fcr (a) <Fcr (b) <Fcr (c)(B) Fcr (a) >Fcr (b) >Fcr (c)(C) Fcr (b) >Fcr ( c) >Fcr ( d)(D) Fcr (b) >Fcr (a) >Fcr (c)正确答案是:8图13- 17所示结构，梁和杆的材料相同， AB梁为N016工字钢，BC为直径d=60mm勺圆形截面杆， 已知
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