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竹编
2020年，新年伊始，笔者和同事参与了两个高铁站的结构设计。其中一个高铁站，正入口处为巨型编织拱设计。方案的立意来源于当地的国家级非物质文化遗产项目——竹编。与民俗相结合的创意、优美的造型、合理的结构，使建筑方案在竞标阶段深受业主喜爱。
■ 某高铁站
编织拱造型虽美，但仔细观察会发现边缘的网格比较零碎，效果有所影响。在初设阶段，建筑师提出优化网格划分的需求，尽量保证边缘网格的完整性。应项目需要，笔者在春节宅家期间整理了建筑结构网格划分的一些资料，分享给大家。
■ 竹编
网格技术
说到网格划分技术，很多结构工程师首先想到的可能是有限元数值模拟中的网格单元的剖分。通过网格划分技术将连续的物理对象离散为有限个基本单元（三边形、四边形、四面体、六面体）进行求解是有限单元法的基本思路。
实际上，网格划分（生成）技术是计算机辅助设计领域的一个重要问题，背后涉及到复杂的基础数学和计算机科学知识，被广泛应用于设计、制造的各个领域，甚至于人脸识别技术。
■ 游戏场景背后的网格
在动漫、游戏界，曲面都是用三角网格来表示，对象通常是以较为粗糙的网格被储存。当对象被显示在离镜头较近时，程序将对象进行精细的网格细分，使显示效果更为逼真细腻。当对象离镜头较远时，显示精度要求不高，程序将对象进行粗略的网格细分以节省计算机资源，这种技术叫做曲面细分。
■ 三角网格到样条曲面的转换（贺英教授作）
在计算机辅助设计（CAD），计算机辅助制造（CAE）领域，几何造型都是用样条曲面来表示。在工程实践中，通常对实体进行三维扫描，获取点云数据，然后将点云转换成三角网格，再转换成四边形网格，最后生成样条曲面，以获取物体的几何造型。
这其中涉及到对网格进行平滑处理、将多边形分解成更加细小的碎片以提升几何逼真度的方法，这种技术在产品设计界称作逆向工程（抄数）。
■ 人脸识别背后的网格技术
在建筑设计领域，网格划分技术通常被用在建筑表皮的剖分和网格结构的杆系拓扑生形上。建筑表皮的网格划分尤其在参数化建筑表皮中应用广泛，不仅关系到表皮机理的美观，更影响到施工的难易程度和成本造价。
■ 北京大兴机场的表皮剖分
■ 长沙梅溪湖艺术中心的表皮网格
■ 网壳结构的网格
■ 木穹顶中的网格
近年来，自由曲面的网壳结构以其丰富强大的视觉表现力备受建筑师青睐。正如其名，自由曲面的形态自由流畅，给人轻松自然的感觉。但其背后的网格划分并不像其形态一样能自如确定，而是有诸多限制。网格划分的好坏，对建筑美观和造价有质的影响，常常失之毫厘，差之千里。下文细述工程师在网壳结构网格划分中所面对的挑战和努力。
经典网壳的网格
万物皆有始，自由曲面的网壳是由初等解释曲面的网壳发展衍生，其网格划分方式自然也继承了经典网壳网格的诸多特点。
而经典网壳结构起源于穹顶。在古代，人类可能从蛋壳、蜂窝、山洞等天然空间结构中发现了穹顶结构的优异性：能以较小的表面封闭较大的空间。随后逐渐学会了利用石头、砖石建造穹顶。典型的如建于公元前27~25年的罗马万神殿。
■ 罗马万神殿穹顶（底直径43.4m，墙厚1.5~6m）
万神殿穹顶的中，人们为了减少穹顶的壁厚和自重，在内部设计了环向和径向的肋格，这实际上已经有了网格划分的雏形。
后来，随着钢材在建筑结构中的应用，人们设计了钢筋混凝土薄壳，典型的如罗马小体育馆，底面的斜交拱肋宛如花瓣的造型，结构逻辑和空间逻辑高度一致。而这斜交的拱肋与球面网壳的联方型网格划分是一致的。
■ 小罗马体育馆
■ 小罗马体育馆内部
由于薄壳结构的局限性，加之轻质高强的钢材的应用，人们在薄壳结构的基础上设计出网壳结构。与薄壳结构使用壳面材料不同，网壳结构将结构材料凝聚到网格化的杆系中。采用线形的杆系作为结构受力支承，杆件的空间分布直接关系到壳面的视觉纹理，因此其划分图式被给予更多的重视。从杆件的拓扑几何和几何变换的规律出发也可以产生不同的结构形式，穹顶之父富勒曾经就单层球面网格几何出版过专著。
在早期，计算机辅助设计技术尚未得到应用，受制于尺规作图等传统建筑表达手段，网壳的曲面基本都是由初等解释曲面组成，如柱面网壳、球面网壳、双曲抛物面型网壳等经典网壳结。其网格划分有着固定的范式，总结如下。
■ 柱面网壳的网格
■ 球面网壳的网格
■ 双曲抛物面形网壳的网格
由以上三类划分方式可以看出，初等解释曲面的网格遵循着沿正交于曲面周边、径向和纬向、斜向等将曲面划分为三边形或四边形小格，其网格线可以由初等解释表达式求得，结构的设计、制造、施工较为简便。
应用的例子，如福斯特为柏林议会大厦设计的增筑玻璃穹顶，采用的就是肋环形的分隔。
■ 柏林议会大厦
■ 柏林议会大厦内部
又如上海科技馆的穹顶，在接近赤道的部位采用联方型划分增强结构的刚度，在顶部采用凯威特型的划分，避免了联方型顶部杆件的密集。
■ 上海科技馆穹顶
■ 穹顶内部
自由曲面网壳的网格
在人类历史上，人们一直试图突破垂直正交的建筑体系，寻找一种自由流动的建筑形态，自由曲面的建筑便是诉求之一。在当代，数字技术为自由曲面建筑形态的设计和建造提供了技术支持，使得自由曲面建筑逐渐取代经典的初等解释曲面建筑，成为21世纪一种重要、突出的建筑趋势。
■ 初等解释曲面（左）Vs 自由曲面（右） （混凝土薄壳）
■ 初等解释曲面（左）Vs 自由曲面（右） （金属结构网壳）
所谓自由曲面，是指不能由解析函数精确表达，而以复杂方式自由变化的曲面。虽然自由曲面形态比初等解释曲面更为灵活流畅，但其网格划分基本是在这几种经典的图式的基础上沿用变化。如大英博物馆改造的屋顶网格采用的是联方型的划分方式。
■ 大英博物馆中庭新筑屋顶
■ 大英博物馆中庭新筑屋顶
中国国内目前最大的单层网壳屋面，天津滨海站交通枢纽，屋顶长148m，宽80m，高24m，下部采用了联方型网格，顶部采用扇型网格。
■ 天津滨海站交通枢纽
■ 交通枢纽内部
随着技术与设计思路的拓新，出现了一些新颖的网格划分方式，如2011年落成的阿姆斯特丹国家海洋博物馆中庭采光顶。博物馆的前身在17世纪是荷兰舰队火药仓库（当时的荷兰是世界上称雄一时的海上霸主）。建筑师从建筑的历史身份出发，采用16世纪的一张海洋航线图设计了天窗网壳网格的基本图式。
■ 阿姆斯特丹国家海洋博物馆中庭
■ 16世纪的航线图
■ 截取于航海图的采光顶网格图式
在初等解释几何中网壳的网格通常平行或斜交于周边，或沿径向、环向布置，具有明确的数学解释式，因此划分、建造较为方便。而自由曲面网壳的网格划分却不同，从下图可以直观的看出，对于同一曲面采用四边形网格，右侧的网格杆件长度、杆件夹角、网格面积更为均匀，视觉效果更佳。此外，网格的共面、节点的扭转、多层网格的平滑衔接问题都影响着建筑、施工和造价，因此自由曲面的网格不如曲面的形态一样自由。
■ 劣质的网格（左）Vs优质的网格（右）
〖三边形 or 四边形〗
通常而言，自由曲面网壳的网格为三边形或四边形。三边形网格单元具有天然共面、刚度大的优点，但是也具有诸多缺点：
1）三角形网格的网壳，节点通常有4~8根杆件汇交，节点构造较为复杂；
2）三角形玻璃板造价高于四边形玻璃板。因为加工时通常是将四边形的玻璃板裁剪为三角形的玻璃板，材料耗损较大；
3）三角形网格的网壳中，钢件与玻璃的比值较四边形网格网壳大，通透性受影响；
4）三角形网格不存在无扭转节点（下文介绍）；
5）三角形网格不存在面偏移属性，因此难以满足多层幕墙各面板之间尽可能平行的条件。
〖划分方法〗
网格划分技术起源于有限元领域，经过几十年的发展，涌现了一系列有限元网格剖分方法。但是有限元曲面网格和建筑曲面网格存在着极大的差异性。有限元网格偏重于数值计算的精度要求，自由曲面建筑网格对网格的均匀性、流畅性等观感质量的要求更为严格。
常用的自由曲面网壳网格划分方法有映射法、栅格叠合法、波前推进法、Delaunary三角剖分法等。也有一些学者基于grasshopper开发了网格自动划分方法。如菱形网格划分法利用在曲面上求等半径球面交点的方式获得杆件长度相等的网格。
■ 壳面的菱形网格等长划分
近年来， 出现了一些可系统的解决建筑表皮网格划分问题的工具。应用比较广泛的有起源于维也纳工业大学，由数学家、计算机科学家和工程师团队开发的evolute tools，擅长解决各种复杂异形曲面的建造优化问题。
〖无扭转节点〗
目前为止，我们讨论的网格划分都是基于单线网格，问题比较简单。但实际中网壳杆件均具有一定的截面高度和宽度，甚至是包含网壳杆件结构层和玻璃面板层等多层构造，问题变得复杂。
■ 无扭转节点（左）Vs扭转节点（右）
为了理解其复杂性，首先我们要了解无扭转节点（Torsion-Free Nodes）的概念：
在网壳结构中，当有多根（>2）杆件交在一起时，各杆件中心平面在节点处相交于同一直线。因此各杆件在节点处的衔接比较整齐，否则各杆件在节点处存在错位、相对扭转而不流畅，节点构造比较复杂。并不是任意网格的节点都是无扭转的，只有各网格线之间满足一定的几何关系时才具备。
Evolute Tools通过Ballpacking的算法可将网格优化成无扭转节点网格。值得一提的是，可以在理论上证明，三角形网格不具备无扭转节点的特性，这也是三角形网格节点构造复杂的原因。四边形和六边形网格可以优化得到无扭转节点网格。
■ Ball packing
〖网格偏移方式〗
其次，我们要了解三种由单层网格线偏移得到多层网格的方式：
■ 面偏移网格（左）与边线偏移网格（右）
1）顶点偏移，偏移后得到的网格与源网格的顶点之间有一个相同的距离，这种网格的属性也叫做“圆形”；
2）面偏移，偏移后得到的网格面与源网格面之间有一个相同的间距，这种网格的属性称之为“圆锥形”。圆锥形网格网格带有自由扭转节点，通常圆锥网格非常的光滑。
如下图，圆锥网格具有如下特点：在同一节点处的各网格面相切于同一个以该节点为顶点的圆锥体（左图）。并且两相邻节点圆锥的轴线与连接这两顶点的网格线共面（右图）。
■ 圆锥网格
■ 多层面板之间的间距为定值的圆锥网格
3）边线偏移，偏移后得到的网格线与源网格线之间的有一个相同的间距。如果通过边线偏移的方式得到网壳杆件的上、下表面，各杆件具有相同的高度，杆件在节点处的过渡非常顺滑。如下图，如果网格不是边线偏移网格，若网壳杆件高度一致，即使杆件的上表面对齐，杆件的下边缘仍然存在偏差（即便是无扭转节点）。
■ 非边线偏移网格
〖网格平面化〗
同时，还有网格平面化的问题。在网壳结构中，网格之间通常覆以玻璃。当网格的边数大于等于4时（3边自然共面），如果网格线不共面，需要使用造价较高的曲面玻璃。网格不共面的程度叫做翘曲度，通常以两对角线之间的距离来表达。为了节约造价，通常希望网壳中尽可能多的网格是共面的。
■ 网格的翘曲
从以上可知，并不是任意划分的网格都具有无扭转节点、顶点偏移或面偏移或边线偏移、网格共面、网格线等长的优良特质。而这些特质关系到网格的平滑度、节点的复杂性以及工期造价等，其背后是复杂的数学几何知识。为了得到完美的网格，每一项优化都包含了科学家和工程师的努力，下文结合三个案例说明。
案例
〖案例1〗
上海世博轴阳光谷
设计：华东院、Sbp、Knippers Helbig
2010年上海世博会世博轴共包含6个喇叭状的阳光谷，其中最大的SV1号阳光谷上部径长70~90m，下部径长12~18m，总高42m。
■ 阳光谷
阳光谷采用了刚度较大的三角形网格，杆件为方钢管。顶部和底部周长尺寸相差较大，但建筑师要求网格尺寸均匀、线条流畅。为方便划分，将空间问题转换为平面问题，采用如下划分步骤：
1）首先按10m间隔得到阳光谷的等高线，并将等高线分段。
2）按照对称、不相交的方式连线，得到大网格的拓扑关系，然后在每个大网格中填补25个小网格，得到平面网格划分。
3）将平面网格映射回三维曲面表面。
■ 网格映射划分
如前文所述，三角形网格不存在无扭转节点。为了保证方管在节点区域的平滑过渡，阳光轴在节点施工上花了很大的功夫。阳光谷共有一万多个节点，为了保证图纸的效率和准确性，当时编制了CAD/CAM集成信息系统；对受力较大的位置采用实心铸钢节点，其它位置处采用了直线牛腿节点、弯扭牛腿节点和相贯牛腿节点。弯扭牛腿节点通过精细钢结构加工工艺将节点盖板整体弯扭，与杆件焊接保证节点的顺滑过渡。
面对五千多种规格的复杂节点，阳光谷仍需将每个节点的径向误差控制在2mm以内，角度误差控制在0.1度以内，传统施工技术难以胜任。为了解决这个问题，当时国内自主创新了建筑机器人完成了阳光谷三分之二的节点加工。
■ 铸钢节点的模具
■ 直线牛腿节点
■ 弯扭牛腿节点
■ 相贯牛腿节点
■弯扭牛腿节点盖板的数控弯扭
■加工阳光谷节点的机器人
〖案例2〗
KREOD Pavilions
设计: Pavilion Architecture
■ KREOD PAVILIONS
Kreod pavilions是由三个单体构成的一组亭子，状如松果或蚕茧，表皮骨架是由短木杆相互搭接形成的互承结构（关于互承结构，有兴趣的读者可以参考传统互承结构的当代应用）。
■ 网格优化过程
与阳光谷不同，Kreod Pavilions的表皮网格采用了六边形蜂窝状的网格划分,通过优化可以得到无扭转节点的网格。最终完成的表皮骨架，衔接顺滑流畅，离不开背后复杂的网格处理技术，由Evolute Tools团队完成：
1）将表皮初步划分为三角形网格；
2）将表皮细分为较为均匀的三角形网格；
3）将三角形的中心点连接，得到对应的六边网格；
4）采用circle-packing优化技术，得到带无扭转节点的网格，保证杆件节点的衔接流畅，并且杆件之间的角度接近120度。
■ 杆件精确衔接的节点
■ 网格旋转
将六边形网格边沿其法向旋转一定的角度，得到互承结构的骨架线。杆件之间通过暗埋螺栓进行连接，保证了表皮整洁的效果。
■ 节点暗埋螺栓
〖案例3〗
国王十字火车站西大厅
设计：JMP建筑事务所、 Arup
喜欢《哈利波特》的读者，对国王十字火车站一定不会陌生。始建于1852年的车站，至今仍是伦敦北部重要的交通枢纽，连接英国东部、北部主要城市。1998年开始的车站改造工程于2012年完成并向公众开放。改造的车站西大厅7500平米，是欧洲最大的单跨式结构，由16个从锥形中央漏斗向外辐射的钢结构组成，犹如一颗表现力十足的大树。
■ 车站鸟瞰
■ 车站平面
■ 车站内部
西厅的顶面网壳采用了联方型的三角形网格，像太阳花的花序层层展开，形态优美，中央漏斗状的树形柱区域转换成菱形网格。菱形网格和联方网格的斜杆采用了圆管截面。在顶部联方网格，沿径向放射分布的杆件采用了截面稍大的箱型截面，圆形的斜向杆与方管的侧面相贯连接。
这个项目虽然没有使用复杂的网格优化技术，但是比较巧妙地采用方管与圆管的搭配。一方面增加径向受弯方管的截面高度，减少其宽度，使网壳结构受力合理并显得轻盈；另一方面形成了圆管、方管构件之间的主次层级关系；同时还简化了圆管与方管之间的衔接节点以及方管与上部屋面檩条的连接节点。
■ 车站内部
■ 圆管、方管以及屋面檩条的节点
结尾
自由与不自由，是政治学里争论了上千年的概念。回到高中时代，我们可能在作文中写过“没有绝对的自由，只有相对的自由”。设计自由曲面的网壳也是如此。
自由曲面如行云流水，但是如果要完美的设计建造，还需研究、遵循其背后复杂的数学、几何、工程学限制，因为网格是不“自由”的。
自由曲面的网壳结构通透空灵，是小编比较喜欢的结构形式之一，希望在以后的工作中能有机会实践，也欢迎有兴趣的同事、同行一起来探讨合作。
参考资料
[1] 世博轴阳光谷钢结构设计与研究 汪大绥等
[2] 世博轴阳光谷单层异形钢结构网壳节点制作工艺研究 盛林峰
[3] 自由曲面空间网格结构网格划分、优化及力性能研究 江存
[4] Mesh is Art, Albert Li
[5] Geometry of Multi-layer Freeform Structure, Helmut Pottmann, etc.
[6] Architecutral Geometry, Helmut Pottmann, etc.
[7] The Focal Geometry of Circular and Conical Meshes, Helmut Pottmann, etc.
[9] Shell Structures for Architecture, Sigrid Adriaenssens, etc.